외적이란 무엇인가요?
두 3차원 벡터 a와 b의 외적은 두 입력 벡터 모두에 수직(직교)인 새로운 벡터를 만들어 냅니다. 외적은 물리학과 공학에서 토크, 각운동량, 자기력을 계산하거나 3D 그래픽스에서 표면 법선 벡터를 구할 때 핵심적으로 쓰입니다. 하나의 숫자(스칼라)를 결과로 내놓는 내적과 달리, 외적은 벡터를 결과로 돌려줍니다.
계산기 사용 방법
벡터 a의 세 성분(a₁, a₂, a₃)과 벡터 b의 세 성분(b₁, b₂, b₃)을 입력하세요. 계산기는 외적 결과 \(\vec{a} \times \vec{b}\)를 순서쌍 형태로 보여 주고, 그 크기도 함께 계산해 줍니다. 값은 양수, 음수, 소수 모두 입력할 수 있습니다.
공식 알아보기
외적은 성분별로 다음과 같이 정의됩니다.
$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} \text{a}_2 \cdot \text{b}_3 - \text{a}_3 \cdot \text{b}_2 \\[0.4em] \text{a}_3 \cdot \text{b}_1 - \text{a}_1 \cdot \text{b}_3 \\[0.4em] \text{a}_1 \cdot \text{b}_2 - \text{a}_2 \cdot \text{b}_1 \end{pmatrix}$$
각 성분은 나머지 두 좌표로 이루어진 2×2 행렬식입니다. 외적 벡터의 크기는 각 성분을 제곱해 합한 값의 제곱근과 같으며, 이는 \(|a||b|\sin(\theta)\), 즉 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와도 일치합니다.
$$\left\lVert \vec{a} \times \vec{b} \right\rVert = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$
예제로 풀어보기
a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6)이라고 하면 다음과 같습니다.
$$c_x = 2\cdot 6 - 3\cdot 5 = 12 - 15 = -3$$
$$c_y = 3\cdot 4 - 1\cdot 6 = 12 - 6 = 6$$
$$c_z = 1\cdot 5 - 2\cdot 4 = 5 - 8 = -3$$
따라서 \(\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 6, -3)\)이며, 크기는 \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7.348\)입니다.
자주 묻는 질문
외적은 교환법칙이 성립하나요? 아니요. \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)이므로, 순서를 바꾸면 결과 벡터의 방향이 반대로 뒤집힙니다.
두 벡터가 평행하면 어떻게 되나요? \(\sin(\theta) = 0\)이므로 외적은 영벡터 (0, 0, 0)이 됩니다.
외적의 크기는 무엇을 의미하나요? 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같습니다. 크기가 0이라는 것은 두 벡터가 일차종속(평행 또는 반평행)임을 뜻합니다.
