3D 向量外積計算機

輸入計算

a₁ (x)

a₂ (y)

a₃ (z)

b₁ (x)

b₂ (y)

b₃ (z)

數學公式

Show calculation steps (1)

1. Magnitude of Cross Product

   

   Length of the resulting vector, where cx, cy, cz are the cross product components above

結果

外積 a × b

( -3, 6, -3 )

同時垂直於 a 與 b 的合成向量

i 分量 (x)	-3
j 分量 (y)	6
k 分量 (z)	-3
向量長度 |a × b|	7.3485

什麼是外積（叉積）？

兩個三維向量 a 與 b 的外積（又稱叉積，cross product）會產生一個全新的向量，這個向量同時垂直（正交）於原本的兩個輸入向量。外積在物理與工程領域相當基礎，常用於計算力矩、角動量、磁力，以及 3D 繪圖中的表面法向量。與內積（點積）只回傳一個純量數值不同，外積回傳的結果是一個向量。

根據右手定則，外積 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 同時垂直於 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)。

如何使用本計算機

請依序輸入向量 a 的三個分量（a₁、a₂、a₃）以及向量 b 的三個分量（b₁、b₂、b₃）。計算機會以有序三元組的形式回傳外積結果 \(\vec{a} \times \vec{b}\)，並一併顯示其向量長度（模）。輸入的數值可以是正數、負數或小數。

公式說明

外積依分量定義如下：

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} \text{a}_2 \cdot \text{b}_3 - \text{a}_3 \cdot \text{b}_2 \\[0.4em] \text{a}_3 \cdot \text{b}_1 - \text{a}_1 \cdot \text{b}_3 \\[0.4em] \text{a}_1 \cdot \text{b}_2 - \text{a}_2 \cdot \text{b}_1 \end{pmatrix}$$

其中每一個分量，都是由其餘兩個座標所組成的 2×2 行列式。向量長度（模）等於各分量平方和的平方根，同時也等於 \(|a||b|\sin(\theta)\)，亦即這兩個向量所張成的平行四邊形面積。

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右手定則給出 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 的方向。

範例演算

假設 \(a = (1, 2, 3)\)、\(b = (4, 5, 6)\)，則：

$$c_x = 2\cdot6 - 3\cdot5 = 12 - 15 = -3$$$$c_y = 3\cdot4 - 1\cdot6 = 12 - 6 = 6$$$$c_z = 1\cdot5 - 2\cdot4 = 5 - 8 = -3$$

因此 \(\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 6, -3)\)，其長度為 \(\sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} \approx 7.348\)。

常見問題

外積符合交換律嗎？不符合。\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)；交換兩者順序，結果向量的方向會相反。

如果兩個向量互相平行會怎樣？外積會是零向量 \((0, 0, 0)\)，因為此時 \(\sin(\theta) = 0\)。

向量長度（模）代表什麼意義？它等於兩個向量所構成的平行四邊形面積；當長度為零時，表示這兩個向量線性相依（互相平行或反向）。