這個計算器能做什麼
本工具可計算兩個向量 a 與 b 之間最基本的兩種運算：內積（點積）與外積（叉積）。內積的結果是一個純量（單一數值），外積的結果則是一個全新的三維向量，且同時垂直於原本的兩個向量。此外，計算器還會一併列出外積向量的大小（模長）以及兩向量之間的夾角。
使用方法
請以逗號分隔的數字輸入向量 a 與向量 b 的各個分量（例如 1, 2, 3）。計算內積時，a 與 b 只要維度 \(n\) 相同即可；但計算外積時，兩個向量都必須剛好是三個分量。你可以從下拉選單選擇要顯示的有效位數——此設定只影響結果的顯示方式，不會改變實際的運算精度。
公式說明
內積是將對應分量相乘後再加總：$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i\,b_i$$ 若結果為零，代表兩向量互相正交（垂直）。外積則會產生向量 $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2\,b_3 - a_3\,b_2 \\ a_3\,b_1 - a_1\,b_3 \\ a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \end{pmatrix}$$ 夾角可由 $$\theta = \arccos\!\left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a} \rVert \, \lVert \mathbf{b} \rVert} \right)$$ 求得，但前提是兩個向量都不能是零向量。
實例演算
設 a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6)。內積為 $$1\times4 + 2\times5 + 3\times6 = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$ 外積的各分量為 \(c_1 = 2\times6 - 3\times5 = -3\)、\(c_2 = 3\times4 - 1\times6 = 6\)、\(c_3 = 1\times5 - 2\times4 = -3\)，因此 \(\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (-3, 6, -3)\)。其大小為 $$\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7.3485$$
常見問題
為什麼外積算不出來？外積只對三維向量有定義。請確認 a 與 b 都剛好是三個分量。
為什麼內積算不出來？內積要求 a 與 b 的分量數目相同。如果兩者維度不一致，這個運算就無法成立。
內積為零代表什麼？代表兩個向量互相正交，也就是彼此夾角為 90 度。
