ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة عمليتين أساسيتين على المتجهات: الضرب القياسي (النقطي) والضرب الاتجاهي (المتجهي) لمتجهين a وb. يُنتج الضرب القياسي قيمة عددية واحدة (كمية قياسية)، بينما يُنتج الضرب الاتجاهي متجهًا جديدًا ثلاثي الأبعاد عموديًا على كلا المتجهين المُدخَلين. كما تعرض الحاسبة مقدار ناتج الضرب الاتجاهي والزاوية المحصورة بين المتجهين.
طريقة الاستخدام
أدخِل مُركّبات المتجه a والمتجه b كأرقام مفصولة بفواصل (مثل 1, 2, 3). بالنسبة إلى الضرب القياسي، يمكن أن يكون للمتجهين a وb أي بُعد متطابق \(n\). أما الضرب الاتجاهي فيتطلب أن يحتوي كل متجه على ثلاث مُركّبات بالضبط. اختر عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها من القائمة المنسدلة؛ علمًا بأن ذلك يؤثر في النتيجة المعروضة فقط ولا يغيّر الحساب الفعلي.
شرح المعادلات
يضرب الضرب القياسي المُركّبات المتقابلة ثم يجمع نواتجها:
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i\,b_i$$وإذا كانت النتيجة صفرًا فهذا يعني أن المتجهين متعامدان (عموديان على بعضهما). أما الضرب الاتجاهي فيُنتج المتجه
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2\,b_3 - a_3\,b_2 \\ a_3\,b_1 - a_1\,b_3 \\ a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \end{pmatrix}$$وتُحسب الزاوية من العلاقة
$$\theta = \arccos\!\left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a} \rVert \, \lVert \mathbf{b} \rVert} \right)$$وهي تتطلب أن يكون كلا المتجهين غير صفري.
مثال محلول
لنفترض أن a = (1، 2، 3) وb = (4، 5، 6). يكون الضرب القياسي مساويًا لـ
$$1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$أما مُركّبات الضرب الاتجاهي فهي \(c_1 = 2 \times 6 - 3 \times 5 = -3\)، و\(c_2 = 3 \times 4 - 1 \times 6 = 6\)، و\(c_3 = 1 \times 5 - 2 \times 4 = -3\)، ما يعطي \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)\). ويبلغ مقداره \(\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7.3485\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يظهر الضرب الاتجاهي غير مُعرَّف؟ لأن الضرب الاتجاهي مُعرَّف فقط للمتجهات ثلاثية الأبعاد. تأكَّد من أن كلًّا من a وb يحتوي على ثلاث مُركّبات بالضبط.
لماذا يظهر الضرب القياسي غير مُعرَّف؟ لأن الضرب القياسي يتطلب أن يكون لكل من a وb العدد نفسه من المُركّبات. وإذا اختلف بُعداهما، فإن العملية تكون غير مُعرَّفة.
ماذا يعني أن يكون الضرب القياسي صفرًا؟ يعني ذلك أن المتجهين متعامدان (تبلغ الزاوية بينهما 90 درجة).
