Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula dos operaciones fundamentales entre vectores: el producto escalar (o producto punto) y el producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores a y b. El producto escalar devuelve un único número (un escalar), mientras que el producto vectorial devuelve un nuevo vector tridimensional perpendicular a ambos vectores de entrada. La calculadora también muestra el módulo del producto vectorial y el ángulo que forman los dos vectores.
Cómo usarla
Introduce las componentes del vector a y del vector b como números separados por comas (por ejemplo, 1, 2, 3). Para el producto escalar, a y b pueden tener cualquier dimensión \(n\), siempre que coincidan. Para el producto vectorial, ambos vectores deben tener exactamente tres componentes. Elige en el desplegable cuántas cifras significativas quieres mostrar; esto solo afecta al resultado que se ve en pantalla, no al cálculo interno.
Las fórmulas explicadas
El producto escalar multiplica las componentes correspondientes y las suma:
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i\,b_i$$Un resultado igual a cero indica que los vectores son ortogonales (perpendiculares). El producto vectorial genera el vector
$$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{pmatrix} a_2\,b_3 - a_3\,b_2 \\ a_3\,b_1 - a_1\,b_3 \\ a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \end{pmatrix}$$El ángulo se obtiene a partir de
$$\theta = \arccos\!\left( \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a} \rVert \, \lVert \mathbf{b} \rVert} \right)$$lo que exige que ninguno de los dos vectores sea nulo.
Ejemplo resuelto
Sean a = (1, 2, 3) y b = (4, 5, 6). El producto escalar es
$$1\times 4 + 2\times 5 + 3\times 6 = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$Las componentes del producto vectorial son \(c_1 = 2\times 6 - 3\times 5 = -3\), \(c_2 = 3\times 4 - 1\times 6 = 6\), \(c_3 = 1\times 5 - 2\times 4 = -3\), lo que da \(\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (-3,\ 6,\ -3)\). Su módulo es
$$\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7{,}3485$$Preguntas frecuentes
¿Por qué mi producto vectorial aparece como indefinido? El producto vectorial solo está definido para vectores de tres dimensiones. Asegúrate de que tanto a como b tengan exactamente tres componentes.
¿Por qué aparece indefinido el producto escalar? El producto escalar requiere que a y b tengan el mismo número de componentes. Si sus dimensiones no coinciden, la operación no está definida.
¿Qué significa que el producto escalar sea cero? Significa que los dos vectores son ortogonales (forman un ángulo de 90 grados entre sí).
