¿Qué es el producto matriz-vector?
El producto matriz-vector toma una matriz A de tamaño m×n y un vector columna x de dimensión n, y genera un nuevo vector columna c = A·x de dimensión m. Es una de las operaciones más esenciales del álgebra lineal: está detrás de las transformaciones lineales, los sistemas de ecuaciones, los gráficos por computadora y el aprendizaje automático. Esta calculadora trabaja con números reales y es válida en cualquier lugar, ya que se trata de matemática pura, sin reglas que dependan de ningún país.
Cómo usar esta calculadora
Indica el número de filas (i) y de columnas (j) de la matriz A. Escribe los elementos de la matriz en el cuadro de la cuadrícula, una fila por línea y separando los valores con espacios o comas. Introduce el vector x con un valor por cada elemento; su longitud debe coincidir con el número de columnas de A. Las celdas vacías se interpretan como 0. Pulsa calcular para ver el vector columna resultante.
La fórmula explicada
Para cada índice de salida i, de 1 hasta m (el número de filas), la componente del resultado es la suma ponderada de los elementos de la fila i de la matriz por las componentes del vector:
$$c_i = \sum_{j=1}^{\text{cols}} a_{ij}\,x_j, \quad i = 1,\dots,\text{rows}$$
Esto no es más que el producto escalar de la fila i de A con el vector x. La multiplicación solo está definida cuando el número de columnas de A coincide con la longitud de x (columnas = n). El vector resultante tiene entonces longitud m, es decir, el número de filas de A.
Ejemplo resuelto
Sea A la matriz 3×3 con filas [1 2 3], [4 5 6] y [7 8 9], y x = (1, 0, -1). Entonces $$c_1 = 1\cdot 1 + 2\cdot 0 + 3\cdot(-1) = -2,$$ $$c_2 = 4\cdot 1 + 5\cdot 0 + 6\cdot(-1) = -2$$ y $$c_3 = 7\cdot 1 + 8\cdot 0 + 9\cdot(-1) = -2.$$ El resultado es el vector columna c = (-2, -2, -2).
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si las dimensiones no coinciden? Si el número de columnas de A no es igual a la longitud de x, el producto no está definido y la calculadora muestra un mensaje de validación en lugar de un número.
¿Puede A no ser cuadrada? Sí. Una matriz 2×3 multiplicada por un vector de 3 componentes da un vector de 2 componentes. La longitud del resultado siempre coincide con el número de filas de A.
¿Qué da una matriz 1×n? Una matriz 1×n por un vector de n componentes produce una sola componente: en la práctica, el producto interno (escalar) de dos vectores, que aquí se muestra como un vector de longitud 1.
