¿Qué es el producto exterior de vectores?
El producto exterior (también conocido como producto tensorial o producto diádico) de dos vectores combina un vector a de longitud m y un vector b de longitud n en una matriz C de tamaño m × n. Cada elemento es, sencillamente, el producto de una componente de a por una de b: \((\mathbf{a} \otimes \mathbf{b})_{ij} = a_i\, b_j\). A diferencia del producto escalar (o producto interno), que reduce dos vectores a un único número, el producto exterior los expande hasta formar una matriz completa. Se trata de álgebra lineal pura y se aplica en cualquier contexto: no depende de normas de ningún país.
Cómo usar esta calculadora
Escribe las componentes del vector a, un número por línea (o separadas por comas) y haz lo mismo con el vector b. Los vectores no tienen por qué tener la misma longitud. Elige cuántos decimales quieres mostrar y pulsa calcular. El resultado muestra las dimensiones (m × n) junto con la matriz completa. Se admiten valores negativos, fraccionarios y ceros.
La fórmula, paso a paso
Si tratamos a como un vector columna (m × 1) y b como un vector fila (1 × n, es decir, la transpuesta de b), entonces $$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \mathbf{a}\,\mathbf{b}^{\top} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_m b_1 & a_m b_2 & \cdots & a_m b_n \end{bmatrix}$$ Al multiplicar una matriz m × 1 por otra 1 × n se obtiene una matriz m × n. El número de filas coincide con la longitud de a y el número de columnas con la longitud de b. La matriz resultante tiene siempre rango 1 (o rango 0 si alguno de los vectores es nulo en su totalidad).
Ejemplo resuelto
Sean a = [1, 2, 3] (m = 3) y b = [4, 5] (n = 2). Entonces C es de tamaño 3 × 2:
Fila 1: \(1\times 4 = 4\), \(1\times 5 = 5\)
Fila 2: \(2\times 4 = 8\), \(2\times 5 = 10\)
Fila 3: \(3\times 4 = 12\), \(3\times 5 = 15\)
Por tanto $$\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 8 & 10 \\ 12 & 15 \end{bmatrix}$$ con 3 filas y 2 columnas.
Preguntas frecuentes
¿Tienen que tener los dos vectores la misma longitud? No. El producto exterior genera una matriz m × n para cualesquiera longitudes m y n. Exigir la misma longitud es propio del producto interno (escalar), no del exterior.
¿Es conmutativo el producto exterior? No. Si intercambias los vectores de entrada, el resultado se transpone: \(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = (\mathbf{b} \otimes \mathbf{a})^{\top}\).
¿En qué se diferencia del producto vectorial? El producto vectorial solo está definido para vectores en 3D y devuelve otro vector. El producto exterior funciona con cualquier dimensión y devuelve una matriz.
