Что такое внешнее произведение векторов?
Внешнее произведение (его также называют тензорным или диадным произведением) объединяет вектор a длины m и вектор b длины n в матрицу C размером m × n. Каждый элемент матрицы — это просто произведение одной компоненты вектора a на одну компоненту вектора b: \((\mathbf{a} \otimes \mathbf{b})_{ij} = a_i\, b_j\). В отличие от скалярного (внутреннего) произведения, которое сворачивает два вектора в одно число, внешнее произведение, наоборот, «разворачивает» их в целую матрицу. Это чистая линейная алгебра, которая работает одинаково везде — никаких региональных правил здесь нет.
Как пользоваться калькулятором
Введите компоненты вектора a — по одному числу в строке или через запятую, — а затем точно так же задайте вектор b. Длины векторов не обязаны совпадать. Выберите, сколько знаков после запятой показывать, и нажмите кнопку расчёта. В результате вы увидите размерность (m × n) и полную матрицу. Поддерживаются отрицательные, дробные и нулевые значения.
Разбор формулы
Если рассматривать a как вектор-столбец (m × 1), а b — как вектор-строку (1 × n, то есть транспонированный b), то $$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \mathbf{a}\,\mathbf{b}^{\top} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_m b_1 & a_m b_2 & \cdots & a_m b_n \end{bmatrix}$$ Умножение матрицы m × 1 на матрицу 1 × n даёт матрицу m × n. Число строк равно длине вектора a, а число столбцов — длине вектора b. Полученная матрица всегда имеет ранг 1 (ранг 0, если хотя бы один из векторов состоит только из нулей).
Пример с решением
Пусть a = [1, 2, 3] (m = 3) и b = [4, 5] (n = 2). Тогда C — это матрица 3 × 2:
Строка 1: \(1\times 4 = 4\), \(1\times 5 = 5\)
Строка 2: \(2\times 4 = 8\), \(2\times 5 = 10\)
Строка 3: \(3\times 4 = 12\), \(3\times 5 = 15\)
Итого C = [[4, 5], [8, 10], [12, 15]], где строк = 3, столбцов = 2.
Частые вопросы
Должны ли векторы быть одинаковой длины? Нет. Внешнее произведение даёт матрицу m × n при любых длинах m и n. Равенство длин требуется для внутреннего (скалярного) произведения, а не для внешнего.
Коммутативно ли внешнее произведение? Нет. При перестановке аргументов результат транспонируется: \(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = (\mathbf{b} \otimes \mathbf{a})^{\top}\).
Чем оно отличается от векторного произведения? Векторное произведение определено только для трёхмерных векторов и возвращает вектор. Внешнее произведение работает с векторами любой размерности и возвращает матрицу.
