什么是向量外积？
外积（也称张量积或并矢积）会把一个长度为 m 的向量 a 与一个长度为 n 的向量 b 组合成一个 m × n 的矩阵 C。矩阵中的每个元素都是 a 的某个分量与 b 的某个分量相乘的结果：\(C[i][j] = a_i \times b_j\)。点积（内积）会把两个向量"压缩"成一个数，而外积恰好相反，它把两个向量"展开"成一个完整的矩阵。这是纯粹的线性代数运算，放之四海皆准，不涉及任何地区性规则。
如何使用本计算器
在向量 a 的输入框中填入各个分量，每行一个数字（也可以用逗号分隔），然后用同样的方式填写向量 b。两个向量的长度不必相同。接着选择结果保留的小数位数，点击提交即可。结果会显示矩阵的维度（m × n）以及完整的矩阵表格。负数、小数和零都完全支持。
公式详解
如果把 a 看作一个列向量（m × 1），把 b 看作一个行向量（1 × n，即 b 的转置），那么 $$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \mathbf{a}\,\mathbf{b}^{\top} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_m b_1 & a_m b_2 & \cdots & a_m b_n \end{bmatrix}$$ 即 \(C = \mathbf{a}\,\mathbf{b}^{\top}\)。一个 m × 1 矩阵乘以一个 1 × n 矩阵，得到的就是一个 m × n 矩阵。行数等于 a 的长度，列数等于 b 的长度。所得矩阵的秩始终为 1（若其中任一向量全为零，则秩为 0）。其中每个元素由 \(\left(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b}\right)_{ij} = a_i\, b_j\) 给出。
实例演示
设 a = [1, 2, 3]（m = 3），b = [4, 5]（n = 2），那么 C 是一个 3 × 2 的矩阵：
第 1 行：\(1 \times 4 = 4\)，\(1 \times 5 = 5\)
第 2 行：\(2 \times 4 = 8\)，\(2 \times 5 = 10\)
第 3 行：\(3 \times 4 = 12\)，\(3 \times 5 = 15\)
因此 $$C = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 8 & 10 \\ 12 & 15 \end{bmatrix}$$ ，行数为 3，列数为 2。
常见问题
两个向量必须等长吗？ 不需要。无论长度 m 和 n 是多少，外积都能生成一个 m × n 矩阵。要求两向量等长的是内积（点积），而非外积。
外积满足交换律吗？ 不满足。交换两个输入向量会得到结果的转置：\(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = (\mathbf{b} \otimes \mathbf{a})^{\top}\)。
外积和叉积有什么区别？ 叉积只对三维向量有定义，结果仍是一个向量；而外积适用于任意维度，结果是一个矩阵。
