वेक्टर आउटर प्रोडक्ट क्या है?
दो वेक्टर का आउटर प्रोडक्ट (जिसे टेंसर प्रोडक्ट या डायाडिक प्रोडक्ट भी कहते हैं) एक m लंबाई वाले वेक्टर a और एक n लंबाई वाले वेक्टर b को मिलाकर एक m × n मैट्रिक्स C बनाता है। इसका हर एलिमेंट बस a के एक घटक और b के एक घटक के गुणनफल के बराबर होता है: \(C[i][j] = a_i \times b_j\)। डॉट (इनर) प्रोडक्ट दो वेक्टर को एक ही संख्या में समेट देता है, जबकि आउटर प्रोडक्ट इसके उलट उन्हें फैलाकर एक पूरी मैट्रिक्स में बदल देता है। यह शुद्ध रैखिक बीजगणित (linear algebra) है और हर जगह एक समान लागू होता है — इसमें किसी देश या क्षेत्र के अलग नियम नहीं होते।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वेक्टर a के घटक टाइप करें — हर लाइन में एक संख्या (या कॉमा से अलग करके)। फिर वेक्टर b के लिए भी ऐसा ही करें। यह ज़रूरी नहीं है कि दोनों वेक्टर की लंबाई एक समान हो। फिर चुनें कि नतीजे में कितने दशमलव स्थान दिखाने हैं और सबमिट करें। नतीजे में आयाम (m × n) के साथ पूरी मैट्रिक्स ग्रिड दिखती है। ऋणात्मक, भिन्नात्मक और शून्य — सभी मान चलते हैं।
सूत्र की व्याख्या
अगर a को एक कॉलम वेक्टर (m × 1) और b को एक रो वेक्टर (1 × n, यानी b का ट्रांसपोज़) मान लें, तो \(C = \mathbf{a}\,\mathbf{b}^{\top}\) होता है। एक m × 1 को एक 1 × n से गुणा करने पर m × n मैट्रिक्स मिलती है।
$$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \mathbf{a}\,\mathbf{b}^{\top} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_m b_1 & a_m b_2 & \cdots & a_m b_n \end{bmatrix}$$पंक्तियों (rows) की संख्या a की लंबाई के बराबर होती है, और स्तंभों (columns) की संख्या b की लंबाई के बराबर। बनी हुई मैट्रिक्स का रैंक हमेशा 1 होता है (रैंक 0 तब जब कोई एक वेक्टर पूरी तरह शून्य हो)।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए a = [1, 2, 3] (m = 3) और b = [4, 5] (n = 2)। तब C एक 3 × 2 मैट्रिक्स बनेगी:
पंक्ति 1: \(1 \times 4 = 4\), \(1 \times 5 = 5\)
पंक्ति 2: \(2 \times 4 = 8\), \(2 \times 5 = 10\)
पंक्ति 3: \(3 \times 4 = 12\), \(3 \times 5 = 15\)
तो C = [[4, 5], [8, 10], [12, 15]], जिसमें पंक्तियाँ = 3 और स्तंभ = 2 हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या दोनों वेक्टर की लंबाई एक समान होनी चाहिए? नहीं। आउटर प्रोडक्ट किसी भी लंबाई m और n के लिए एक m × n मैट्रिक्स बनाता है। समान लंबाई की शर्त इनर (डॉट) प्रोडक्ट की खासियत है, आउटर प्रोडक्ट की नहीं।
क्या आउटर प्रोडक्ट क्रमविनिमेय (commutative) है? नहीं। इनपुट आपस में बदलने पर नतीजा ट्रांसपोज़ हो जाता है: \(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \left(\mathbf{b} \otimes \mathbf{a}\right)^{\top}\)।
यह क्रॉस प्रोडक्ट से कैसे अलग है? क्रॉस प्रोडक्ट सिर्फ़ 3D वेक्टर के लिए परिभाषित है और एक वेक्टर देता है। आउटर प्रोडक्ट किसी भी आयाम के लिए काम करता है और एक मैट्रिक्स देता है।
