Qu'est-ce que le produit tensoriel de vecteurs ?
Le produit tensoriel (également appelé produit dyadique ou produit externe) de deux vecteurs combine un vecteur a de longueur m et un vecteur b de longueur n pour former une matrice C de dimensions m x n. Chaque coefficient est tout simplement le produit d'une composante de a par une composante de b : \((\mathbf{a} \otimes \mathbf{b})_{ij} = a_i\, b_j\). Contrairement au produit scalaire (produit interne), qui réduit deux vecteurs à un seul nombre, le produit tensoriel les développe en une matrice complète. Il s'agit d'algèbre linéaire pure, valable partout — aucune règle propre à un pays.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les composantes du vecteur a, un nombre par ligne (ou séparées par des virgules), puis faites de même pour le vecteur b. Les deux vecteurs ne sont pas tenus d'avoir la même longueur. Choisissez le nombre de décimales à afficher, puis validez. Le résultat indique les dimensions (m x n) ainsi que la grille complète de la matrice. Les valeurs négatives, décimales et nulles sont toutes prises en charge.
La formule expliquée
Si l'on considère a comme un vecteur colonne (m x 1) et b comme un vecteur ligne (1 x n, c'est-à-dire la transposée de b), alors $$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \mathbf{a}\,\mathbf{b}^{\top} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_m b_1 & a_m b_2 & \cdots & a_m b_n \end{bmatrix}$$ Multiplier une matrice m x 1 par une matrice 1 x n donne une matrice m x n. Le nombre de lignes est égal à la longueur de a ; le nombre de colonnes est égal à la longueur de b. La matrice obtenue est toujours de rang 1 (rang 0 si l'un des vecteurs est entièrement nul).
Exemple résolu
Prenons a = [1, 2, 3] (m = 3) et b = [4, 5] (n = 2). La matrice C est alors de dimensions 3 x 2 :
Ligne 1 : \(1\times 4 = 4\), \(1\times 5 = 5\)
Ligne 2 : \(2\times 4 = 8\), \(2\times 5 = 10\)
Ligne 3 : \(3\times 4 = 12\), \(3\times 5 = 15\)
On obtient donc C = [[4, 5], [8, 10], [12, 15]], avec 3 lignes et 2 colonnes.
FAQ
Les deux vecteurs doivent-ils avoir la même longueur ? Non. Le produit tensoriel produit une matrice m x n pour n'importe quelles longueurs m et n. L'exigence d'une longueur identique caractérise le produit scalaire (produit interne), pas le produit tensoriel.
Le produit tensoriel est-il commutatif ? Non. Échanger les entrées transpose le résultat : \(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = (\mathbf{b} \otimes \mathbf{a})^{\top}\).
Quelle différence avec le produit vectoriel ? Le produit vectoriel n'est défini que pour des vecteurs en 3D et renvoie un vecteur. Le produit tensoriel fonctionne en toute dimension et renvoie une matrice.
