Vektörel Dış Çarpım Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

a vektörü (her satıra bir sayı veya virgülle ayrılmış) 1 2 3

b vektörü (her satıra bir sayı veya virgülle ayrılmış) 4 5

Gösterilen ondalık basamak sayısı 2 4 6 8 10

Sonuç

Dış Çarpım Matrisinin Boyutları

3 x 2

satır x sütun (m x n)

4	5
8	10
12	15

Satır (m)	3
Sütun (n)	2
Tanım	C[i][j] = a_i × b_j

Vektörel dış çarpım nedir?

İki vektörün dış çarpımı (tensör çarpımı veya diadik çarpım olarak da bilinir), uzunluğu m olan a vektörü ile uzunluğu n olan b vektörünü birleştirerek m × n boyutunda bir C matrisi oluşturur. Matrisin her elemanı, a'nın bir bileşeniyle b'nin bir bileşeninin çarpımından ibarettir: \((\mathbf{a} \otimes \mathbf{b})_{ij} = a_i\, b_j\). İki vektörü tek bir sayıya indirgeyen iç (skaler) çarpımın aksine, dış çarpım onları tam bir matrise genişletir. Bu tamamen doğrusal cebir konusudur ve her yerde geçerlidir; ülkeye özgü bir kural söz konusu değildir.

Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?

a vektörünün bileşenlerini her satıra bir sayı gelecek şekilde (ya da virgülle ayırarak) yazın, ardından aynı işlemi b vektörü için tekrarlayın. Vektörlerin aynı uzunlukta olması gerekmez. Kaç ondalık basamak görüntülenmesini istediğinizi seçin ve hesaplayın. Sonuçta hem boyutlar (m × n) hem de tam matris ızgarası görüntülenir. Negatif, ondalıklı ve sıfır değerlerin hepsi desteklenir.

Formülün açıklaması

a, bir sütun vektörü (m × 1) ve b ise bir satır vektörü (1 × n, yani b'nin devriği) olarak ele alınırsa $$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \mathbf{a}\,\mathbf{b}^{\top} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_m b_1 & a_m b_2 & \cdots & a_m b_n \end{bmatrix}$$ elde edilir. m × 1 boyutundaki bir vektörü 1 × n boyutundaki bir vektörle çarpmak m × n boyutunda bir matris verir. Satır sayısı a'nın uzunluğuna, sütun sayısı ise b'nin uzunluğuna eşittir. Elde edilen matrisin rankı her zaman 1'dir (vektörlerden herhangi biri tamamen sıfırdan oluşuyorsa rank 0 olur).

Reklam

Dış çarpım, m × n matris oluşturmak için bir sütun vektörü a ile bir satır vektörü \(\mathbf{b}^{\top}\)'yi çarpar.

Çözümlü örnek

a = [1, 2, 3] (m = 3) ve b = [4, 5] (n = 2) olsun. Bu durumda C, 3 × 2 boyutunda olur:
1. satır: \(1 \times 4 = 4\), \(1 \times 5 = 5\)
2. satır: \(2 \times 4 = 8\), \(2 \times 5 = 10\)
3. satır: \(3 \times 4 = 12\), \(3 \times 5 = 15\)
Yani $$C = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 8 & 10 \\ 12 & 15 \end{bmatrix}$$ olur; satır sayısı = 3, sütun sayısı = 2.

Her öğe \(C[i][j]\), \(a_i \times b_j\)'ye eşittir.

Sıkça sorulan sorular

İki vektörün de aynı uzunlukta olması gerekir mi? Hayır. Dış çarpım, m ve n uzunlukları ne olursa olsun m × n boyutunda bir matris üretir. Eşit uzunluk şartı, dış çarpımın değil, iç (skaler) çarpımın bir özelliğidir.

Dış çarpım değişmeli midir? Hayır. Girdilerin yerini değiştirmek sonucun devriğini verir: \(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = (\mathbf{b} \otimes \mathbf{a})^{\top}\).

Bunun vektörel çarpımdan (çapraz çarpım) farkı nedir? Vektörel çarpım yalnızca 3 boyutlu vektörler için tanımlıdır ve bir vektör döndürür. Dış çarpım ise her boyutta çalışır ve bir matris döndürür.