Tích ngoài của vector là gì?
Tích ngoài (còn gọi là tích tensor hoặc tích dyadic) của hai vector kết hợp một vector a có độ dài m và một vector b có độ dài n thành một ma trận C kích thước m x n. Mỗi phần tử đơn giản là tích của một thành phần của a với một thành phần của b: \(C[i][j] = a_i \times b_j\). Khác với tích vô hướng (tích trong) vốn rút gọn hai vector thành một con số duy nhất, tích ngoài lại "mở rộng" chúng thành một ma trận đầy đủ. Đây thuần túy là đại số tuyến tính và áp dụng ở mọi nơi — không phụ thuộc vào quy tắc của bất kỳ quốc gia nào.
Cách sử dụng máy tính
Nhập các thành phần của vector a, mỗi số một dòng (hoặc cách nhau bằng dấu phẩy), rồi làm tương tự với vector b. Hai vector không cần có cùng độ dài. Chọn số chữ số thập phân muốn hiển thị, sau đó bấm tính. Kết quả sẽ cho biết kích thước (m x n) cùng toàn bộ lưới ma trận. Công cụ hỗ trợ đầy đủ các giá trị âm, số thập phân và số 0.
Giải thích công thức
Nếu xem a là vector cột (m x 1) và b là vector hàng (1 x n, tức là chuyển vị của b), thì \(C = \mathbf{a}\,\mathbf{b}^{\top}\). Nhân ma trận m x 1 với ma trận 1 x n sẽ cho ra ma trận m x n.
$$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \mathbf{a}\,\mathbf{b}^{\top} = \begin{bmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_m b_1 & a_m b_2 & \cdots & a_m b_n \end{bmatrix}$$Số hàng bằng độ dài của a; số cột bằng độ dài của b. Ma trận kết quả luôn có hạng bằng 1 (hạng 0 nếu một trong hai vector toàn số 0).
Ví dụ minh họa
Cho a = [1, 2, 3] (m = 3) và b = [4, 5] (n = 2). Khi đó C là ma trận 3 x 2:
Hàng 1: \(1 \times 4 = 4\), \(1 \times 5 = 5\)
Hàng 2: \(2 \times 4 = 8\), \(2 \times 5 = 10\)
Hàng 3: \(3 \times 4 = 12\), \(3 \times 5 = 15\)
Vậy C = [[4, 5], [8, 10], [12, 15]], với số hàng = 3 và số cột = 2.
Câu hỏi thường gặp
Hai vector có cần cùng độ dài không? Không. Tích ngoài tạo ra ma trận m x n với bất kỳ độ dài m và n nào. Yêu cầu hai vector phải bằng độ dài là đặc điểm của tích vô hướng (tích trong), chứ không phải tích ngoài.
Tích ngoài có tính giao hoán không? Không. Hoán đổi thứ tự đầu vào sẽ cho ra ma trận chuyển vị: \(\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = (\mathbf{b} \otimes \mathbf{a})^{\top}\).
Tích ngoài khác tích có hướng (tích chéo) như thế nào? Tích có hướng chỉ định nghĩa cho vector 3 chiều và trả về một vector. Còn tích ngoài áp dụng cho mọi số chiều và trả về một ma trận.
