Máy Tính Hình Chiếu Vector

Nhập phép tính

Kết quả

Hình chiếu của a lên b

(3, 0, 0)

proj_b(a)

Hệ số vô hướng (a·b)/(b·b)	3
Tích vô hướng a·b	3
Tích vô hướng b·b	1
Độ dài hình chiếu	3

Hình chiếu vector là gì?

Hình chiếu của vector a lên vector b chính là "cái bóng" mà vector a đổ xuống đường thẳng có phương của vector b. Kết quả thu được cũng là một vector, có cùng phương (hoặc ngược phương) với b. Nó trả lời cho câu hỏi: phần nào của a nằm dọc theo hướng của b? Đây là một phép toán nền tảng trong vật lý (phân tích lực), đồ họa máy tính, học máy và đại số tuyến tính.

Sơ đồ thể hiện vectơ a, vectơ b và hình chiếu của a lên b với đường vuông góc hạ xuống — Hình chiếu của a lên b là bóng của a theo hướng của b.

Cách sử dụng máy tính này

Nhập các thành phần của vector a và vector b. Với vector hai chiều, bạn chỉ cần để trống ô z (giá trị mặc định là 0). Nhấn nút tính toán và bạn sẽ nhận được đầy đủ vector chiếu, hệ số vô hướng, cả hai tích vô hướng cùng độ dài (độ lớn) của hình chiếu.

Giải thích công thức

Hình chiếu được tính theo công thức:

$$\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\,\vec{b}$$

Trước tiên, tính tích vô hướng $\vec{a}\cdot\vec{b} = \text{a}_x\,\text{b}_x + \text{a}_y\,\text{b}_y + \text{a}_z\,\text{b}_z$. Sau đó chia cho $\vec{b}\cdot\vec{b}$ (bình phương độ dài của b) để được một hệ số vô hướng. Cuối cùng, nhân hệ số này với từng thành phần của b để co giãn vector. Lưu ý rằng b phải khác vector không; nếu b là vector không thì hình chiếu không xác định và kết quả trả về sẽ bằng không.

Quảng cáo

Phân tích hình học của công thức hình chiếu, thể hiện độ dài vô hướng dọc theo b nhân với hướng của b — Hệ số vô hướng (a·b)/(b·b) co giãn vectơ b để tạo ra vectơ hình chiếu.

Ví dụ minh họa

Giả sử a = (4, 1) và b = (2, 3). Khi đó $\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot 2 + 1\cdot 3 = 11$, và $\vec{b}\cdot\vec{b} = 2^2 + 3^2 = 13$. Hệ số vô hướng là $11/13 \approx 0{,}8462$. Vector chiếu là $$0{,}8462 \cdot (2, 3) = (1{,}6923,\ 2{,}5385),$$ với độ dài $\sqrt{1{,}6923^2 + 2{,}5385^2} \approx 3{,}0509$.

Câu hỏi thường gặp

Sự khác biệt giữa hình chiếu vô hướng và hình chiếu vector là gì? Hình chiếu vô hướng là độ dài có dấu $(\vec{a}\cdot\vec{b})/|\vec{b}|$, chỉ là một con số duy nhất. Còn hình chiếu vector (được tính ở đây) lấy số đó nhân với vector đơn vị của b, cho ra một vector thực sự.

Hình chiếu có thể ngược hướng với b không? Có — nếu a·b âm thì hệ số vô hướng sẽ âm, và vector chiếu sẽ hướng ngược lại với b.

Máy tính này có dùng được cho không gian 3D không? Có. Bạn chỉ cần điền thành phần z cho cả hai vector. Để trống các ô đó nếu bài toán chỉ ở 2D.

Máy tính liên quan

Máy Tính Độ Lớn Vector

Tính độ lớn của vector từ các thành phần. Chọn không gian 2D–5D, nhập X, Y và tùy chọn Z, W, V để có ngay kết quả độ dài.

Máy Tính Vector Đơn Vị

Máy tính vector đơn vị miễn phí. Chuẩn hóa mọi vector 2D hoặc 3D về độ dài 1 bằng cách chia từng thành phần cho độ lớn. Hiển thị độ lớn và vector đơn vị.

Máy Tính Thành Phần Vectơ

Chuyển độ lớn và góc của vectơ thành thành phần x, y ngay lập tức. Hỗ trợ độ hoặc radian theo công thức x = r·cos(θ), y = r·sin(θ).

Công Cụ Tính Độ Lớn Vector

Tính độ lớn (độ dài) của vector 2D hoặc 3D từ các thành phần x, y, z theo công thức |v| = √(x²+y²+z²). Nhanh và chính xác.

Công Cụ Tính Hướng của Vector

Tính góc chỉ hướng của vector 2D từ thành phần x và y theo công thức θ = atan2(y, x). Nhận kết quả góc theo độ, radian và độ lớn của vector.

Máy Tính Vector Tổng Hợp

Cộng 2 hoặc 3 vector theo thành phần X, Y để tìm độ lớn và góc hướng θ của vector tổng hợp. Công cụ cộng vector 2D miễn phí, cho kết quả ngay tức thì.