¿Qué es la proyección de un vector?
La proyección del vector a sobre b es la "sombra" que el vector a arroja sobre la recta definida por el vector b. El resultado es a su vez un vector que apunta en la misma dirección que b (o en sentido opuesto). Responde a la pregunta: ¿qué parte de a se encuentra en la dirección de b? Se trata de una operación esencial en física (descomposición de fuerzas), gráficos por ordenador, aprendizaje automático y álgebra lineal.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las componentes del vector a y del vector b. Si trabajas con vectores bidimensionales, basta con dejar en blanco los campos de la coordenada z (su valor por defecto es 0). Pulsa calcular y obtendrás el vector proyección completo, el factor escalar, ambos productos escalares y la magnitud (longitud) de la proyección.
La fórmula explicada
La proyección se calcula así:
$$\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\,\vec{b}$$
Primero se calcula el producto escalar \(\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\). Después se divide por \(\vec{b}\cdot\vec{b}\) (la longitud al cuadrado de b) para obtener un factor escalar. Por último, se multiplica ese escalar por cada componente de b para escalarlo. Ten en cuenta que b no puede ser nulo: si b es el vector cero, la proyección no está definida y devolvemos cero.
Ejemplo resuelto
Sean a = (4, 1) y b = (2, 3). Entonces $$\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot 2 + 1\cdot 3 = 11,$$ y $$\vec{b}\cdot\vec{b} = 2^2 + 3^2 = 13.$$ El factor escalar es \(11/13 \approx 0{,}8462\). El vector proyección es $$0{,}8462 \cdot (2,\ 3) = (1{,}6923,\ 2{,}5385),$$ con una magnitud de \(\sqrt{1{,}6923^2 + 2{,}5385^2} \approx 3{,}0509\).
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre la proyección escalar y la vectorial? La proyección escalar es la longitud con signo \((\vec{a}\cdot\vec{b})/|\vec{b}|\), es decir, un único número. La proyección vectorial (la que se calcula aquí) multiplica esa dirección por el vector unitario de b, dando como resultado un vector real.
¿Puede la proyección apuntar en sentido contrario a b? Sí. Si a·b es negativo, el factor escalar es negativo y el vector proyección apunta en sentido opuesto al de b.
¿Funciona en 3D? Sí. Solo tienes que rellenar las componentes z de ambos vectores. Déjalas en blanco para problemas en 2D.
