Qu'est-ce que la projection vectorielle ?
La projection du vecteur a sur le vecteur b correspond à « l'ombre » que a projette sur la droite portée par b. Le résultat est lui-même un vecteur, orienté dans le même sens que b (ou dans le sens opposé). Elle répond à une question simple : quelle part de a s'aligne sur la direction de b ? C'est une opération fondamentale en physique (décomposition des forces), en infographie, en apprentissage automatique et en algèbre linéaire.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les composantes du vecteur a et du vecteur b. Pour des vecteurs en deux dimensions, laissez simplement les champs z vides (ils valent 0 par défaut). Lancez le calcul : vous obtenez aussitôt le vecteur projeté complet, le facteur scalaire, les deux produits scalaires ainsi que la norme (la longueur) de la projection.
La formule expliquée
La projection se calcule ainsi :
$$\operatorname{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{b}\cdot\vec{b}}\,\vec{b}$$
On commence par le produit scalaire \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \text{a}_x\,\text{b}_x + \text{a}_y\,\text{b}_y + \text{a}_z\,\text{b}_z\). On le divise ensuite par \(\vec{b}\cdot\vec{b}\) (le carré de la norme de b) pour obtenir un facteur scalaire. Enfin, on multiplie ce facteur par chaque composante de b pour la mettre à l'échelle. Attention : b doit être non nul ; si b est le vecteur nul, la projection n'est pas définie et nous renvoyons zéro.
Exemple résolu
Prenons a = (4, 1) et b = (2, 3). On a alors \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4\cdot 2 + 1\cdot 3 = 11\), et \(\vec{b}\cdot\vec{b} = 2^2 + 3^2 = 13\). Le facteur scalaire vaut \(\frac{11}{13} \approx 0{,}8462\). Le vecteur projeté est $$0{,}8462 \cdot (2,\, 3) = (1{,}6923,\, 2{,}5385)$$ de norme \(\sqrt{1{,}6923^2 + 2{,}5385^2} \approx 3{,}0509\).
FAQ
Quelle différence entre projection scalaire et projection vectorielle ? La projection scalaire est la longueur signée \(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\), un simple nombre. La projection vectorielle (celle calculée ici) multiplie cette grandeur par le vecteur unitaire de b, ce qui donne un véritable vecteur.
La projection peut-elle pointer dans le sens opposé à b ? Oui — si \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) est négatif, le facteur scalaire l'est aussi et le vecteur projeté pointe à l'opposé de b.
Cela fonctionne-t-il en 3D ? Oui. Il suffit de renseigner les composantes z des deux vecteurs. Laissez-les vides pour les problèmes en 2D.
