Qu'est-ce qu'un vecteur résultant ?
Le vecteur résultant est le vecteur unique qui produit le même effet que plusieurs vecteurs agissant ensemble. Pour additionner des vecteurs dans le plan, on additionne séparément leurs composantes horizontale (X) et verticale (Y). Les composantes ainsi obtenues, \(R_x\) et \(R_y\), définissent la résultante, à partir de laquelle on calcule sa norme et sa direction. C'est une notion fondamentale en physique (composition de forces ou de vitesses), en ingénierie et en navigation.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les composantes X et Y de chaque vecteur. Les deux premiers vecteurs sont obligatoires ; le troisième est facultatif — laissez-le à 0 pour n'additionner que deux vecteurs. Le calculateur additionne les composantes, puis renvoie la norme \(|\vec{R}|\), l'angle de direction \(\theta\) (en degrés, mesuré dans le sens trigonométrique à partir de l'axe des x positifs), ainsi que les composantes \(R_x\) et \(R_y\) de la résultante.
La formule expliquée
On additionne d'abord les composantes : \(R_x = \sum x_i\) et \(R_y = \sum y_i\). La norme découle du théorème de Pythagore :
$$|\vec{R}| = \sqrt{R_x^{2} + R_y^{2}}, \qquad \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{R_y}{R_x}\right)$$La direction utilise l'arctangente à deux arguments, \(\theta = \operatorname{atan2}(R_y, R_x)\), qui place correctement l'angle dans le bon quadrant — contrairement à une simple arctangente, atan2 distingue par exemple le deuxième quadrant du quatrième.
Exemple résolu
Additionnons le vecteur \(A = (3, 4)\) et le vecteur \(B = (0, 0)\). On obtient alors \(R_x = 3\) et \(R_y = 4\). La norme vaut
$$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$$La direction \(\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 53{,}13^\circ\). La résultante pointe donc vers le haut et la droite, à environ 53 degrés, avec une longueur de 5 unités.
FAQ
À partir de quoi l'angle est-il mesuré ? À partir de l'axe des x positifs, en augmentant dans le sens trigonométrique (sens antihoraire). Les angles positifs se situent au-dessus de l'axe, les négatifs en dessous.
Puis-je additionner plus de trois vecteurs ? Procédez par groupes : calculez la résultante de trois vecteurs, puis ressaisissez-la avec les vecteurs restants.
Quelles unités utilise-t-il ? N'importe quelle unité cohérente — newtons, mètres par seconde, kilomètres, etc. La norme s'exprime dans la même unité que celle saisie.
