ما هو المتجه المحصّل؟
المتجه المحصّل هو المتجه الواحد الذي يُحدث نفس التأثير الناتج عن عدة متجهات تعمل معًا في آنٍ واحد. ولجمع المتجهات في بُعدين، نجمع مركّباتها الأفقية (X) والرأسية (Y) كلًّا على حِدة. وتُعرّف المركّبتان المجموعتان، أي \(R_x\) و\(R_y\)، المتجهَ المحصّل، ومنهما يمكنك حساب مقداره الكلي واتجاهه. وهذا المفهوم أساسي في الفيزياء (عند دمج القوى أو السرعات)، وفي الهندسة، والملاحة.
كيف تستخدم هذه الحاسبة
أدخِل مركّبتي X وY لكل متجه. المتجهان الأول والثاني مطلوبان، أما الثالث فاختياري؛ اترك قيمه عند 0 إذا أردت جمع متجهين فقط. تقوم الحاسبة بجمع المركّبات، ثم تُعيد لك المقدار \(|\vec{R}|\)، وزاوية الاتجاه \(\theta\) (بالدرجات، مقيسة بعكس عقارب الساعة بدءًا من المحور السيني الموجب)، إضافةً إلى المركّبتين المجموعتين \(R_x\) و\(R_y\).
شرح المعادلة
نبدأ بجمع المركّبات: \(R_x = \sum x_i\) و\(R_y = \sum y_i\). ثم نحسب المقدار باستخدام نظرية فيثاغورس:
$$|\vec{R}| = \sqrt{R_x^{2} + R_y^{2}}, \qquad \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{R_y}{R_x}\right)$$أما الاتجاه فيعتمد على دالة الظل العكسي ثنائية الوسيطين، \(\theta = \operatorname{atan2}(R_y, R_x)\)، التي تضع الزاوية في الرُّبع الصحيح بدقة — وهذا بخلاف دالة arctan العادية، إذ تستطيع atan2 التمييز، مثلًا، بين الرُّبع الثاني والرُّبع الرابع.
مثال محلول
لنجمع المتجه \(A = (3, 4)\) والمتجه \(B = (0, 0)\). عندئذٍ يكون \(R_x = 3\) و\(R_y = 4\). والمقدار \(= \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\). أما الاتجاه فهو \(\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 53.13°\). وبذلك يشير المتجه المحصّل إلى الأعلى وإلى اليمين بزاوية تقارب 53 درجة، وطوله 5 وحدات.
الأسئلة الشائعة
من أين تُقاس الزاوية؟ تُقاس من المحور السيني الموجب، وتتزايد بعكس اتجاه عقارب الساعة. فالزوايا الموجبة تقع فوق المحور، والسالبة تحته.
هل يمكنني جمع أكثر من ثلاثة متجهات؟ نعم، اجمعها على مجموعات: احسب محصّلة ثلاثة متجهات، ثم أدخِلها مع بقية المتجهات وكرّر العملية.
ما الوحدات التي تستخدمها الحاسبة؟ أي وحدة متّسقة — نيوتن، أو متر في الثانية، أو أميال، وغيرها. ويخرج المقدار بالوحدة نفسها التي أدخلتَها.
