परिणामी सदिश क्या होता है?
परिणामी सदिश वह एकल सदिश है जो कई सदिशों के एक साथ काम करने जैसा ही प्रभाव डालता है। दो विमाओं (2D) में सदिशों को जोड़ने के लिए, उनके क्षैतिज (X) और ऊर्ध्वाधर (Y) घटकों को अलग-अलग जोड़ा जाता है। इन जोड़े गए घटकों, \(R_x\) और \(R_y\), से परिणामी सदिश परिभाषित होता है, जिससे आप इसका कुल परिमाण और दिशा निकाल सकते हैं। यह अवधारणा भौतिकी (बलों या वेगों को मिलाने में), इंजीनियरिंग और नेविगेशन में बेहद महत्वपूर्ण है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
हर सदिश के X और Y घटक दर्ज करें। पहले दो सदिश ज़रूरी हैं; तीसरा वैकल्पिक है — अगर सिर्फ़ दो सदिश जोड़ने हैं तो इसे 0 पर ही रहने दें। कैलकुलेटर सभी घटकों को जोड़ता है और फिर परिमाण \(|\vec{R}|\), दिशा कोण \(\theta\) (डिग्री में, धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त यानी एंटी-क्लॉकवाइज़ मापा गया) तथा जोड़े गए \(R_x\) और \(R_y\) दिखाता है।
सूत्र की पूरी जानकारी
सबसे पहले घटकों को जोड़ें: \(R_x = \sum x_i\) और \(R_y = \sum y_i\)। परिमाण पाइथागोरस प्रमेय से मिलता है। दिशा के लिए दो-तर्क वाले आर्कटैन्जेंट का उपयोग होता है, \(\theta = \operatorname{atan2}(R_y, R_x)\), जो कोण को सही चतुर्थांश (quadrant) में रखता है — सामान्य arctan के विपरीत, atan2 दूसरे और चौथे चतुर्थांश के बीच सही अंतर कर पाता है।
$$\begin{gathered} |\vec{R}| = \sqrt{R_x^{2} + R_y^{2}}, \qquad \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} R_x &= \text{X}_1 + \text{X}_2 + \text{X}_3 \\ R_y &= \text{Y}_1 + \text{Y}_2 + \text{Y}_3 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
हल किया गया उदाहरण
सदिश \(A = (3, 4)\) और सदिश \(B = (0, 0)\) को जोड़िए। तब \(R_x = 3\), \(R_y = 4\) होगा। परिमाण $$|\vec{R}| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$$ दिशा $$\theta = \operatorname{atan2}(4, 3) \approx 53.13°$$ यानी परिणामी सदिश ऊपर और दाईं ओर लगभग 53 डिग्री पर इंगित करता है और इसकी लंबाई 5 इकाई है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
कोण किससे मापा जाता है? धनात्मक x-अक्ष से, वामावर्त (एंटी-क्लॉकवाइज़) दिशा में बढ़ते हुए। धनात्मक कोण अक्ष के ऊपर और ऋणात्मक कोण नीचे होते हैं।
क्या मैं तीन से ज़्यादा सदिश जोड़ सकता हूँ? हाँ, समूहों में जोड़ें: पहले तीन का परिणामी निकालें, फिर उसे बाक़ी सदिशों के साथ दर्ज करें।
यह कौन-सी इकाइयाँ इस्तेमाल करता है? कोई भी एक समान इकाई — न्यूटन, मीटर प्रति सेकंड, मील, आदि। परिमाण उसी इकाई में आता है जिसमें आपने मान दर्ज किए थे।
