वेक्टर कैलकुलेटर क्या है?
यह वेक्टर कैलकुलेटर दो त्रि-आयामी (3D) वेक्टरों, A और B, के साथ काम करता है, जिनमें से हर एक अपने X, Y और Z घटकों से परिभाषित होता है। इन्हीं छह संख्याओं से यह गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में सबसे ज़्यादा इस्तेमाल होने वाली वेक्टर राशियाँ निकालता है: हर वेक्टर का परिमाण (लंबाई), डॉट गुणनफल, क्रॉस गुणनफल, और दोनों वेक्टरों के बीच का कोण। यह एक सार्वभौमिक गणितीय उपकरण है — इसमें किसी देश के नियम या किसी ख़ास इकाई प्रणाली की ज़रूरत नहीं है।
इसका उपयोग कैसे करें
वेक्टर A और वेक्टर B के X, Y और Z घटक दर्ज करें। जिस घटक की आपको ज़रूरत न हो, उसके लिए 0 लिखें (2D वेक्टर के लिए Z को 0 रखें)। "calculate" दबाते ही आपको हाइलाइट किया हुआ डॉट गुणनफल दिखेगा, साथ ही दोनों परिमाणों का ब्योरा, क्रॉस गुणनफल वेक्टर, उसका परिमाण, और A तथा B के बीच का कोण डिग्री में मिलेगा।
सूत्रों की व्याख्या
किसी वेक्टर का परिमाण उसके घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है: $$\lVert v \rVert = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$$ डॉट गुणनफल में संगत घटकों को गुणा करके जोड़ा जाता है: $$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$$ और यह कोण \(\theta\) से इस तरह जुड़ा है: $$\vec{a}\cdot\vec{b} = \lVert a \rVert\,\lVert b \rVert\cos\theta$$ क्रॉस गुणनफल एक नया वेक्टर देता है जो दोनों मूल वेक्टरों पर लंबवत होता है, जिसके घटक होते हैं \((a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x)\)।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए A = (1, 2, 3) और B = (4, 5, 6)। डॉट गुणनफल $$= 1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6 = 4 + 10 + 18 = 32$$ \(\lVert A \rVert = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14} \approx 3.7417\), \(\lVert B \rVert = \sqrt{16+25+36} = \sqrt{77} \approx 8.7750\)। क्रॉस गुणनफल $$= (2\cdot 6 - 3\cdot 5,\ 3\cdot 4 - 1\cdot 6,\ 1\cdot 5 - 2\cdot 4) = (-3, 6, -3)$$ जिसका परिमाण \(\sqrt{9+36+9} = \sqrt{54} \approx 7.3485\) है। कोण $$= \arccos\!\left(\frac{32}{3.7417\cdot 8.7750}\right) \approx 12.93°$$ होगा।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या मैं 2D वेक्टर इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ — दोनों वेक्टरों के Z घटक को 0 रखें और सभी सूत्र सही तरह से काम करते रहेंगे।
क्रॉस गुणनफल मुझे क्या बताता है? यह एक ऐसा वेक्टर देता है जो दोनों मूल वेक्टरों पर लंबवत होता है; इसका परिमाण उन दोनों वेक्टरों से बने समांतर चतुर्भुज (parallelogram) के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
अगर कोई वेक्टर शून्य हो तो क्या होगा? तब उसका परिमाण 0 होगा और कोण अपरिभाषित रहेगा, इसलिए ऐसी स्थिति में यह उपकरण कोण को 0 दिखाता है।
