वेक्टर जोड़ क्या है?
वेक्टर जोड़ की प्रक्रिया दो वेक्टरों को मिलाकर एक परिणामी (resultant) वेक्टर बनाती है। यह घटक-दर-घटक काम करती है: आप केवल x-घटकों को आपस में, y-घटकों को आपस में और z-घटकों को आपस में जोड़ देते हैं। ज्यामितीय रूप से इसे "सिर-से-पूँछ" (head-to-tail) नियम कहते हैं — वेक्टर B की पूँछ को वेक्टर A के सिर पर रखें, और परिणामी वेक्टर A की पूँछ से लेकर B के सिर तक जाता है। यह कैलकुलेटर 2D वेक्टर (z के मान 0 छोड़ दें) और पूर्ण 3D वेक्टर — दोनों को संभालता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वेक्टर A और वेक्टर B के x, y और (वैकल्पिक रूप से) z घटक दर्ज करें, फिर परिणाम देख लें। यह टूल A + B के हर घटक के साथ-साथ परिणामी वेक्टर का कुल परिमाण (लंबाई) भी बताता है। 2D समस्याओं के लिए बस z वाले फ़ील्ड को 0 ही रहने दें।
सूत्र की व्याख्या
हर घटक सूचकांक i के लिए, परिणामी वेक्टर इस नियम का पालन करता है: \((a + b)_i = a_i + b_i\)। विस्तार से लिखें तो परिणामी वेक्टर है:
$$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = \left( \text{A}_x + \text{B}_x,\ \text{A}_y + \text{B}_y,\ \text{A}_z + \text{B}_z \right)$$परिमाण यूक्लिडीय मानक (Euclidean norm) से निकाला जाता है: घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल।
$$\left| \vec{R} \right| = \sqrt{ \left( \text{A}_x + \text{B}_x \right)^2 + \left( \text{A}_y + \text{B}_y \right)^2 + \left( \text{A}_z + \text{B}_z \right)^2 }$$
हल किया गया उदाहरण
मान लें \(A = (3, 4, 0)\) और \(B = (1, 2, 0)\) को जोड़ना है। घटक-दर-घटक: \(x = 3 + 1 = 4\), \(y = 4 + 2 = 6\), \(z = 0 + 0 = 0\), अतः \(A + B = (4, 6, 0)\)। परिमाण होगा:
$$\sqrt{4^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7.2111$$अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या मैं अलग-अलग आयामों (dimensions) के वेक्टर जोड़ सकता हूँ? किसी 2D वेक्टर को \(z = 0\) वाले 3D वेक्टर की तरह मानें; जोड़ तभी परिभाषित होता है जब दोनों वेक्टरों में घटकों की संख्या समान हो।
क्या वेक्टर जोड़ क्रमविनिमेय (commutative) होता है? हाँ — \(A + B = B + A\), क्योंकि हर घटक में वास्तविक संख्याओं का जोड़ क्रमविनिमेय होता है।
परिमाण का क्या अर्थ है? यह परिणामी तीर (arrow) की लंबाई है, जो भौतिकी में बलों, वेगों या विस्थापनों को मिलाने में उपयोगी होती है।
