ما هو جمع المتجهات؟
جمع المتجهات هو دمج متجهين في متجه ناتج واحد، ويتم ذلك مركّبة بمركّبة: تجمع مركّبات x معًا، ثم مركّبات y معًا، ثم مركّبات z معًا. وهندسيًا يُعرف هذا بقاعدة "الرأس إلى الذيل" — حيث تضع ذيل المتجه B عند رأس المتجه A، فيمتد المتجه الناتج من ذيل A إلى رأس B. تتعامل هذه الحاسبة مع المتجهات ثنائية الأبعاد (اترك قيم z مساوية للصفر) ومع المتجهات ثلاثية الأبعاد الكاملة على حد سواء.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل مركّبات x وy و(اختياريًا) z لكل من المتجه A والمتجه B، ثم اقرأ المتجه الناتج مباشرة. تعرض الأداة قيمة كل مركّبة من A + B إضافةً إلى المقدار الكلي (الطول) للمتجه الناتج. أما في مسائل البعدين، فاترك حقول z مساوية للصفر فحسب.
شرح المعادلة
لكل مركّبة بدليل i، يحقق المتجه الناتج العلاقة \((a + b)_i = a_i + b_i\). وبالتفصيل، يكون المتجه الناتج هو $$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = \left( \text{A}_x + \text{B}_x,\ \text{A}_y + \text{B}_y,\ \text{A}_z + \text{B}_z \right)$$ ويُحسب المقدار باستخدام المعيار الإقليدي: وهو الجذر التربيعي لمجموع مربعات المركّبات. $$\left| \vec{R} \right| = \sqrt{ \left( \text{A}_x + \text{B}_x \right)^2 + \left( \text{A}_y + \text{B}_y \right)^2 + \left( \text{A}_z + \text{B}_z \right)^2 }$$
مثال محلول
لنجمع \(A = (3، 4، 0)\) مع \(B = (1، 2، 0)\). مركّبة بمركّبة: \(x = 3 + 1 = 4\)، و \(y = 4 + 2 = 6\)، و \(z = 0 + 0 = 0\)، إذن \(A + B = (4، 6، 0)\). والمقدار هو $$\sqrt{4^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7.2111$$
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني جمع متجهات بأبعاد مختلفة؟ اعتبر المتجه ثنائي الأبعاد متجهًا ثلاثي الأبعاد مع \(z = 0\)؛ فالجمع لا يُعرَّف إلا عندما يكون لكلا المتجهين العدد نفسه من المركّبات.
هل جمع المتجهات تبادلي؟ نعم — \(A + B = B + A\)، لأن جمع الأعداد الحقيقية لكل مركّبة عملية تبادلية.
ماذا يعني المقدار؟ إنه طول السهم الناتج، وهو مفيد في الفيزياء عند دمج القوى أو السرعات أو الإزاحات.
