Qu'est-ce que l'addition de vecteurs ?
L'addition de vecteurs consiste à combiner deux vecteurs en un seul vecteur résultant. Elle s'effectue composante par composante : il suffit d'additionner les composantes x entre elles, les composantes y entre elles et les composantes z entre elles. Géométriquement, cela correspond à la règle « bout à bout » (ou règle du parallélogramme) : on place l'origine du vecteur B à l'extrémité du vecteur A, et la résultante relie l'origine de A à l'extrémité de B. Ce calculateur gère aussi bien les vecteurs en 2D (laissez les valeurs z à 0) que les vecteurs complets en 3D.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les composantes x, y et (éventuellement) z du vecteur A et du vecteur B, puis lisez directement la résultante. L'outil affiche chaque composante de A + B ainsi que la norme (longueur) globale du vecteur résultant. Pour un problème en 2D, laissez simplement les champs z à 0.
La formule expliquée
Pour chaque indice de composante i, la résultante vérifie \((a + b)_i = a_i + b_i\). Développée, la résultante s'écrit $$\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = \left( \text{A}_x + \text{B}_x,\ \text{A}_y + \text{B}_y,\ \text{A}_z + \text{B}_z \right)$$ On calcule la norme à l'aide de la norme euclidienne : la racine carrée de la somme des composantes élevées au carré. $$\left| \vec{R} \right| = \sqrt{ \left( \text{A}_x + \text{B}_x \right)^2 + \left( \text{A}_y + \text{B}_y \right)^2 + \left( \text{A}_z + \text{B}_z \right)^2 }$$
Exemple résolu
Additionnons \(A = (3, 4, 0)\) et \(B = (1, 2, 0)\). Composante par composante : \(x = 3 + 1 = 4\), \(y = 4 + 2 = 6\), \(z = 0 + 0 = 0\), soit \(A + B = (4, 6, 0)\). La norme vaut $$\sqrt{4^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7{,}2111$$
FAQ
Peut-on additionner des vecteurs de dimensions différentes ? Considérez un vecteur 2D comme un vecteur 3D avec \(z = 0\) ; l'addition n'est définie que si les deux vecteurs ont le même nombre de composantes.
L'addition de vecteurs est-elle commutative ? Oui : \(A + B = B + A\), car l'addition des nombres réels de chaque composante est elle-même commutative.
Que représente la norme ? C'est la longueur de la flèche résultante, très utile en physique pour combiner des forces, des vitesses ou des déplacements.
