Que sont les nombres d'Euler ?
Les nombres d'Euler Eₙ forment une célèbre suite d'entiers qui apparaît dans le développement de Taylor de la sécante hyperbolique \(1/\cosh(x)\). On les appelle parfois les nombres sécants (au signe près). Il s'agit de mathématiques pures, valables à l'identique partout dans le monde : aucune règle propre à un pays ou à une région ne s'applique ici. Cet outil affiche une table des Eₙ pour la plage d'indices de votre choix.
Comment l'utiliser
Saisissez le début (nMin) et la fin (nMax) de la plage d'indices, puis choisissez une précision d'affichage exprimée en chiffres significatifs. Le calculateur dresse la liste de chaque indice entier n, de nMin à nMax inclus, accompagné de son nombre d'Euler. Comme ces valeurs croissent de façon super-exponentielle, le calcul s'appuie en interne sur une arithmétique exacte en grands entiers, et les très grands nombres sont présentés en notation scientifique.
La formule
La fonction génératrice est $$\frac{1}{\cosh(x)} = \sum \frac{E_n}{n!} \cdot x^n.$$ Tous les nombres d'Euler d'indice impair sont exactement nuls. Les nombres d'indice pair obéissent à la relation de récurrence exacte :
$$E_0 = 1, \text{ et pour } m \ge 1: \quad E_{2m} = -\sum_{k=0}^{m-1} \binom{2m}{2k} \cdot E_{2k}.$$
Les signes alternent automatiquement : \(E_0 = 1\), \(E_2 = -1\), \(E_4 = 5\), \(E_6 = -61\), \(E_8 = 1385\).
Exemple détaillé
Pour \(n_{\min} = 0\) et \(n_{\max} = 8\), la table compte 9 lignes : \(n=0 \rightarrow 1\), \(n=1 \rightarrow 0\), \(n=2 \rightarrow -1\), \(n=3 \rightarrow 0\), \(n=4 \rightarrow 5\), \(n=5 \rightarrow 0\), \(n=6 \rightarrow -61\), \(n=7 \rightarrow 0\), \(n=8 \rightarrow 1385\).
FAQ
Pourquoi les entrées d'indice impair valent-elles toujours 0 ? Parce que \(1/\cosh(x)\) est une fonction paire : seules les puissances paires de \(x\) apparaissent dans son développement.
Est-ce la même chose que le nombre d'Euler e ? Non. Le nombre d'Euler \(e \approx 2{,}71828\) n'a aucun rapport ; il s'agit ici d'entiers issus de la fonction génératrice de la sécante.
Quelle peut être l'amplitude de la plage ? \(n_{\max}\) est plafonné à 100. Les valeurs sont calculées exactement avec des grands entiers, sans aucune perte de précision.
