¿Qué son los números de Euler?
Los números de Euler \(E_n\) forman una célebre sucesión de números enteros que aparece en el desarrollo de Taylor de la secante hiperbólica \(1/\cosh(x)\). A veces se les conoce como números de la secante (salvo el signo). Se trata de matemática pura y se aplica exactamente igual en cualquier lugar: no existe ninguna regla que dependa de un país o región concretos. Esta herramienta muestra una tabla de \(E_n\) para el rango de índices que prefieras.
Cómo utilizarla
Introduce el inicio (nMín) y el final (nMáx) del rango de índices y, a continuación, elige la precisión de visualización en cifras significativas. La calculadora enumera todos los índices enteros \(n\) desde nMín hasta nMáx, ambos incluidos, junto con su número de Euler correspondiente. Como los valores crecen de forma superexponencial, internamente se emplea aritmética exacta con enteros de gran tamaño y los números muy grandes se muestran en notación científica.
La fórmula
La función generadora es $$\frac{1}{\cosh(x)} = \sum \frac{E_n}{n!} \cdot x^n.$$ Todos los números de Euler de índice impar valen exactamente cero. Los de índice par siguen esta recurrencia exacta:
\(E_0 = 1\) y, para \(m \ge 1\):
$$E_{2m} = -\sum_{k=0}^{m-1} \binom{2m}{2k} \cdot E_{2k}.$$Los signos se alternan de forma automática: \(E_0=1\), \(E_2=-1\), \(E_4=5\), \(E_6=-61\), \(E_8=1385\).
Ejemplo resuelto
Para nMín \(= 0\) y nMáx \(= 8\), la tabla contiene 9 filas: \(n=0 \rightarrow 1\), \(n=1 \rightarrow 0\), \(n=2 \rightarrow -1\), \(n=3 \rightarrow 0\), \(n=4 \rightarrow 5\), \(n=5 \rightarrow 0\), \(n=6 \rightarrow -61\), \(n=7 \rightarrow 0\), \(n=8 \rightarrow 1385\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué los índices impares siempre dan 0? Porque \(1/\cosh(x)\) es una función par, así que en su desarrollo solo aparecen las potencias pares de \(x\).
¿Son lo mismo que el número e de Euler? No. El número \(e \approx 2{,}71828\) no tiene relación con esto; estos son enteros que provienen de la función generadora de la secante.
¿Hasta dónde puede llegar el rango? nMáx tiene un límite de 100. Los valores se calculan de forma exacta con enteros de gran tamaño, por lo que no se pierde precisión.
