Công cụ lập bảng số Euler Eₙ

Nhập phép tính

Khoảng chỉ số n (điểm đầu)

Khoảng chỉ số n (điểm cuối)

Độ chính xác hiển thị (số chữ số có nghĩa) 6 significant digits 10 significant digits 14 significant digits 18 significant digits 22 significant digits 26 significant digits 30 significant digits 34 significant digits 38 significant digits 42 significant digits 46 significant digits 50 significant digits

Kết quả

Euler numbers Eₙ

21

values for n = 0 to 20

n	Eₙ
0	1
1	0
2	-1
3	0
4	5
5	0
6	-61
7	0
8	1385
9	0
10	-50521
11	0
12	2702765
13	0
14	-199360981
15	0
16	19391512145
17	0
18	-2404879675441
19	0
20	370371188237525

All odd-index Euler numbers are exactly 0; only even-index values are nonzero. Signs alternate: E₀=1, E₂=-1, E₄=5, E₆=-61.

Số Euler là gì?

Số Euler Eₙ là một dãy số nguyên nổi tiếng xuất hiện trong khai triển Taylor của hàm sec hyperbolic 1/cosh(x). Đôi khi chúng còn được gọi là các "số sec" (sai khác về dấu). Đây là kiến thức toán học thuần túy, đúng như nhau ở mọi nơi — không có quy tắc riêng theo quốc gia hay khu vực. Công cụ này sẽ in ra bảng giá trị Eₙ cho bất kỳ khoảng chỉ số nào bạn chọn.

Các số Euler khác không xen kẽ dấu và tăng nhanh về độ lớn.

Cách sử dụng

Nhập điểm đầu (nMin) và điểm cuối (nMax) của khoảng chỉ số, sau đó chọn độ chính xác hiển thị tính theo số chữ số có nghĩa. Công cụ sẽ liệt kê mọi chỉ số nguyên \(n\) từ nMin đến nMax (bao gồm cả hai đầu) cùng với số Euler tương ứng. Vì các giá trị tăng cực nhanh theo cấp siêu mũ, bên trong công cụ dùng số học số nguyên lớn (big-integer) hoàn toàn chính xác, còn những con số khổng lồ sẽ được hiển thị dưới dạng ký hiệu khoa học.

Công thức

Hàm sinh là \(\frac{1}{\cosh(x)} = \sum E_n / n! \cdot x^n\). Mọi số Euler có chỉ số lẻ đều chính xác bằng 0. Các số có chỉ số chẵn tuân theo công thức truy hồi chính xác sau:

\(E_0 = 1\), và với \(m \ge 1\):

$$E_{2m} = -\sum_{k=0}^{m-1} \binom{2m}{2k} \cdot E_{2k}.$$

Dấu của chúng tự động đan xen: \(E_0 = 1\), \(E_2 = -1\), \(E_4 = 5\), \(E_6 = -61\), \(E_8 = 1385\).

Quảng cáo

Số Euler là các hệ số Taylor của hàm sinh \(1/\cosh x\).

Ví dụ minh họa

Với nMin = 0 và nMax = 8, bảng sẽ có 9 dòng: \(n=0 \to 1\), \(n=1 \to 0\), \(n=2 \to -1\), \(n=3 \to 0\), \(n=4 \to 5\), \(n=5 \to 0\), \(n=6 \to -61\), \(n=7 \to 0\), \(n=8 \to 1385\).

Câu hỏi thường gặp

Vì sao các chỉ số lẻ luôn bằng 0? Vì \(1/\cosh(x)\) là hàm chẵn, nên trong khai triển của nó chỉ xuất hiện các lũy thừa chẵn của \(x\).

Có phải đây là số e của Euler không? Không. Số e của Euler (\(e \approx 2{,}71828\)) hoàn toàn không liên quan; còn đây là các số nguyên sinh ra từ hàm sinh của hàm sec.

Khoảng giá trị có thể lớn đến đâu? nMax được giới hạn tối đa là 100. Các giá trị được tính chính xác bằng số nguyên lớn nên không bị mất độ chính xác.