欧拉数表计算器（En 数列）｜在线生成欧拉数

输入计算

结果

Euler numbers Eₙ

values for n = 0 to 20

n	Eₙ
0	1
1	0
2	-1
3	0
4	5
5	0
6	-61
7	0
8	1385
9	0
10	-50521
11	0
12	2702765
13	0
14	-199360981
15	0
16	19391512145
17	0
18	-2404879675441
19	0
20	370371188237525

All odd-index Euler numbers are exactly 0; only even-index values are nonzero. Signs alternate: E₀=1, E₂=-1, E₄=5, E₆=-61.

什么是欧拉数？

欧拉数 $E_n$ 是一个著名的整数数列，出现在双曲正割函数 $1/\cosh(x)$ 的泰勒展开式中，有时也被称为正割数（差一个符号）。这属于纯数学概念，在世界各地的定义完全一致，不存在任何地区性的特殊规则。本工具可以为你选择的任意指标区间打印出对应的 $E_n$ 数值表。

前几个非零欧拉数的平面条形图，符号交替 — 非零欧拉数符号交替，且数值快速增大。

使用方法

输入指标区间的起点（nMin）和终点（nMax），再选择以有效数字表示的显示精度。计算器会列出从 nMin 到 nMax（含两端）之间的每一个整数指标 $n$ 及其对应的欧拉数。由于这些数值以超指数速度增长，程序内部采用精确的大整数运算，对于特别庞大的数会以科学计数法显示。

计算公式

其生成函数为 $$\frac{1}{\cosh(x)} = \sum \frac{E_n}{n!} \cdot x^n.$$ 所有奇数指标的欧拉数都恰好为零，偶数指标的数值满足如下精确递推关系：

$E_0 = 1$，且当 $m \ge 1$ 时：$$E_{2m} = -\sum_{k=0}^{m-1} \binom{2m}{2k} \cdot E_{2k}.$$

符号会自动正负交替：$E_0=1$，$E_2=-1$，$E_4=5$，$E_6=-61$，$E_8=1385$。

双曲正割函数 sech x 的钟形平面曲线 — 欧拉数是生成函数 $1/\cosh x$ 的泰勒系数。

实例演示

当 $n_{\min} = 0$、$n_{\max} = 8$ 时，结果表共 9 行：$n=0 \rightarrow 1$，$n=1 \rightarrow 0$，$n=2 \rightarrow -1$，$n=3 \rightarrow 0$，$n=4 \rightarrow 5$，$n=5 \rightarrow 0$，$n=6 \rightarrow -61$，$n=7 \rightarrow 0$，$n=8 \rightarrow 1385$。