Калькулятор таблицы чисел Эйлера

Введите расчет

Диапазон индексов n (начало)

Диапазон индексов n (конец)

Точность вывода (значащих цифр) 6 significant digits 10 significant digits 14 significant digits 18 significant digits 22 significant digits 26 significant digits 30 significant digits 34 significant digits 38 significant digits 42 significant digits 46 significant digits 50 significant digits

Результатов

Euler numbers Eₙ

21

values for n = 0 to 20

n	Eₙ
0	1
1	0
2	-1
3	0
4	5
5	0
6	-61
7	0
8	1385
9	0
10	-50521
11	0
12	2702765
13	0
14	-199360981
15	0
16	19391512145
17	0
18	-2404879675441
19	0
20	370371188237525

All odd-index Euler numbers are exactly 0; only even-index values are nonzero. Signs alternate: E₀=1, E₂=-1, E₄=5, E₆=-61.

Что такое числа Эйлера?

Числа Эйлера \(E_n\) — это знаменитая целочисленная последовательность, которая возникает в разложении в ряд Тейлора гиперболического секанса \(1/\cosh(x)\). Иногда их называют секансными числами (с точностью до знака). Это чистая математика, которая работает одинаково в любой точке мира — никаких национальных или региональных особенностей здесь нет. Калькулятор выводит таблицу \(E_n\) для любого выбранного вами диапазона индексов.

Ненулевые числа Эйлера чередуются по знаку и быстро растут по модулю.

Как пользоваться калькулятором

Укажите начало (nMin) и конец (nMax) диапазона индексов, а затем задайте точность вывода в значащих цифрах. Калькулятор перечислит каждый целый индекс \(n\) от nMin до nMax включительно вместе с соответствующим числом Эйлера. Поскольку значения растут сверхэкспоненциально, внутри используется точная длинная (целочисленная) арифметика, а очень большие числа выводятся в научной нотации.

Формула

Производящая функция имеет вид $$\frac{1}{\cosh(x)} = \sum \frac{E_n}{n!} \cdot x^n.$$ Все числа Эйлера с нечётным индексом в точности равны нулю. Значения с чётным индексом задаются точной рекуррентной формулой:

$$E_n = \begin{cases} 1 & n = 0 \\[0.4em] 0 & n \text{ odd} \\[0.4em] -\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1} \binom{2m}{2k}\, E_{2k} & n = 2m,\ m \ge 1 \end{cases}$$

Знаки чередуются автоматически: \(E_0=1\), \(E_2=-1\), \(E_4=5\), \(E_6=-61\), \(E_8=1385\).

Реклама

Числа Эйлера — коэффициенты Тейлора производящей функции \(1/\cosh x\).

Разбор примера

При nMin = 0 и nMax = 8 таблица содержит 9 строк: \(n=0 \rightarrow 1\), \(n=1 \rightarrow 0\), \(n=2 \rightarrow -1\), \(n=3 \rightarrow 0\), \(n=4 \rightarrow 5\), \(n=5 \rightarrow 0\), \(n=6 \rightarrow -61\), \(n=7 \rightarrow 0\), \(n=8 \rightarrow 1385\).

Частые вопросы

Почему нечётные элементы всегда равны 0? Потому что \(1/\cosh(x)\) — чётная функция, поэтому в её разложении присутствуют только чётные степени \(x\).

Это то же самое, что число Эйлера e? Нет. Число Эйлера \(e \approx 2{,}71828\) не имеет к этому отношения; здесь речь идёт о целых числах из производящей функции секанса.

Насколько большим может быть диапазон? Значение nMax ограничено 100. Все числа вычисляются точно в длинной целочисленной арифметике, поэтому потери точности не происходит.