오일러 수 표 계산기 (Eₙ 수열) | 정확한 정수 계산

계산 입력

결과

Euler numbers Eₙ

values for n = 0 to 20

n	Eₙ
0	1
1	0
2	-1
3	0
4	5
5	0
6	-61
7	0
8	1385
9	0
10	-50521
11	0
12	2702765
13	0
14	-199360981
15	0
16	19391512145
17	0
18	-2404879675441
19	0
20	370371188237525

All odd-index Euler numbers are exactly 0; only even-index values are nonzero. Signs alternate: E₀=1, E₂=-1, E₄=5, E₆=-61.

오일러 수란 무엇인가요?

오일러 수 $E_n$은 쌍곡선 시컨트 $1/\cosh(x)$의 테일러 전개에 등장하는 유명한 정수 수열입니다. 부호를 제외하면 시컨트 수(secant numbers)라고도 불립니다. 이는 순수 수학 개념으로, 국가나 지역에 따라 달라지는 규칙이 전혀 없으며 어디서나 동일하게 적용됩니다. 이 계산기는 여러분이 지정한 인덱스 구간에 대해 $E_n$ 값을 표로 출력해 줍니다.

부호가 번갈아 바뀌는 처음 몇 개의 0이 아닌 오일러 수의 평면 막대 그래프 — 0이 아닌 오일러 수는 부호가 번갈아 바뀌며 크기가 빠르게 커진다.

사용 방법

인덱스 구간의 시작값(nMin)과 끝값(nMax)을 입력한 뒤, 유효 숫자 단위의 표시 정밀도를 선택하세요. 계산기는 nMin부터 nMax까지(양 끝 포함)의 모든 정수 인덱스 $n$과 그에 대응하는 오일러 수를 함께 나열합니다. 값이 초지수적으로 빠르게 커지기 때문에 내부적으로는 정확한 큰 정수(big-integer) 연산을 사용하며, 아주 큰 수는 과학적 표기법(지수 표기)으로 표시됩니다.

공식

생성 함수는 $1/\cosh(x) = \sum E_n/n! \cdot x^n$ 입니다. 홀수 인덱스의 오일러 수는 모두 정확히 0입니다. 짝수 인덱스 값은 다음의 정확한 점화식을 따릅니다.

$E_0 = 1$, 그리고 $m \ge 1$일 때:

$$E_{2m} = -\sum_{k=0}^{m-1} \binom{2m}{2k} \cdot E_{2k}.$$

부호는 자동으로 번갈아 나타납니다: $E_0=1$, $E_2=-1$, $E_4=5$, $E_6=-61$, $E_8=1385$.

쌍곡 시컨트 함수 sech x의 종 모양 평면 곡선 — 오일러 수는 생성 함수 $1/\cosh x$의 테일러 계수이다.

계산 예시

nMin = 0, nMax = 8로 설정하면 표는 다음 9개 행으로 구성됩니다: $n=0 \rightarrow 1$, $n=1 \rightarrow 0$, $n=2 \rightarrow -1$, $n=3 \rightarrow 0$, $n=4 \rightarrow 5$, $n=5 \rightarrow 0$, $n=6 \rightarrow -61$, $n=7 \rightarrow 0$, $n=8 \rightarrow 1385$.