オイラー数とは
オイラー数 \(E_n\) は、双曲線正割 \(1/\cosh(x)\) のテイラー展開に現れる有名な整数列です。符号を除けば「正割数（secant numbers）」とも呼ばれます。これは純粋数学の概念であり、国や地域に関係なく世界共通で成り立ちます。特定の国の制度や規則に依存するものではありません。このツールでは、指定した範囲の \(E_n\) を表として出力します。
使い方
添字 \(n\) の範囲の始まり（nMin）と終わり（nMax）を入力し、表示桁数（有効数字）を指定してください。nMin から nMax までのすべての整数 \(n\) と、それぞれに対応するオイラー数が一覧表示されます。値は超指数的に増大するため、内部では多倍長整数による厳密計算を行い、非常に大きな数値は指数表記で表示します。
計算式
母関数は $$\frac{1}{\cosh(x)} = \sum \frac{E_n}{n!} \cdot x^n$$ で表されます。奇数番目のオイラー数はすべて厳密に 0 です。偶数番目の値は、次の漸化式によって厳密に求められます。
\(E_0 = 1\)、そして \(m \ge 1\) のとき $$E_{2m} = -\sum_{k=0}^{m-1} \binom{2m}{2k} \cdot E_{2k}.$$
符号は自動的に交互に現れます。\(E_0 = 1\)、\(E_2 = -1\)、\(E_4 = 5\)、\(E_6 = -61\)、\(E_8 = 1385\)。
計算例
nMin = 0、nMax = 8 とした場合、表は 9 行になります。\(n=0 \to 1\)、\(n=1 \to 0\)、\(n=2 \to -1\)、\(n=3 \to 0\)、\(n=4 \to 5\)、\(n=5 \to 0\)、\(n=6 \to -61\)、\(n=7 \to 0\)、\(n=8 \to 1385\)。
よくある質問
なぜ奇数番目はいつも 0 なのですか？ \(1/\cosh(x)\) は偶関数であり、展開には \(x\) の偶数乗しか現れないためです。
これはネイピア数 e と同じものですか？ いいえ。ネイピア数（自然対数の底）\(e \approx 2.71828\) とは無関係です。ここで扱うのは正割の母関数から得られる整数列です。
範囲はどこまで指定できますか？ nMax の上限は 100 です。多倍長整数による厳密計算なので、精度が失われることはありません。
