第1種スターリング数（表）計算 - s(n,k) 一覧表

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結果

Signed Stirling numbers of the first kind, row n = 5

s(5, k) for k = 0 ... 5

符号付きの定義: s(n,k) = (-1)^(n-k) c(n,k)

k	s(n, k)
0	0
1	24
2	-50
3	35
4	-10
5	1
符号付き和	0
絶対値の和（= n!）	120

この計算ツールでできること

このツールは、入力した非負整数 n に対する符号付き第1種スターリング数 $s(n,k)$ の行をすべて計算します。k = 0, 1, 2, …, n のすべての値を表形式で出力し、あわせて行内の符号付き和と絶対値の和も表示します。ここでは符号付きの定義を採用しているため、$s(n,k)$ は正にも負にもなります。符号なし（「巡回置換の個数」とも呼ばれる）の数 $c(n,k) = |s(n,k)|$ は、n 個の要素を互いに素なちょうど k 個の巡回置換に分けた順列の個数を表し、$s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k)$ の関係で結ばれます。

計算式

符号付き第1種スターリング数は、下降階乗 $$(x)_n = x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1) = \sum_k s(n,k)\, x^k$$ を展開したときの各 $x^k$ の係数として定義されます。これらは漸化式 $$s(n,k) = s(n-1,k-1) - (n-1)\cdot s(n-1,k)$$ を満たし、初期条件は $s(0,0) = 1$、n ≥ 1 のとき $s(n,0) = 0$、そして $k < 0$ または $k > n$ のとき $s(n,k) = 0$ です。なお $s(n,n) = 1$ が常に成り立ちます。

漸化式を示す矢印付きの第一種スターリング数の三角表 — この漸化式は、各要素を上の行の2つのセル $s(n-1,k-1)$ と $s(n-1,k)$ から構成します。

使い方

0 から 25 までの整数 n を入力して計算を実行します。本ツールは n = 0 の場合の [1] を出発点に、動的計画法で各行を順に構築し、最終的な行を読み取ります。符号付き和（n ≥ 2 では 0）と絶対値の和（n! に一致）を、計算が正しいかどうかの手早い確認に活用してください。

計算例（n = 5）

各行を順に構築すると、n=1 で [0, 1]、n=2 で [0, -1, 1]、n=3 で [0, 2, -3, 1]、n=4 で [0, -6, 11, -6, 1]、そして n=5 で [0, 24, -50, 35, -10, 1] となります。検算: $|0|+|24|+|50|+|35|+|10|+|1| = 120 = 5!$ となり、符号付き和も $0+24-50+35-10+1 = 0$ となります。