行列の掛け算とは？
行列の掛け算（積）とは、2つの行列を1つの「積の行列」にまとめる演算です。2×2行列AとBの積ABもまた2×2行列になり、その各成分は「Aの行」と「Bの列」を掛け合わせて合計することで求まります。これがいわゆる「行×列の内積ルール」です。本ツールは、線形代数・コンピューターグラフィックス・物理学などで頻繁に使われる2×2行列の積を簡単に計算できます。
このツールの使い方
まず行列Aの4つの数値（A₁₁、A₁₂、A₂₁、A₂₂）を入力し、続いて行列Bの4つの数値（B₁₁、B₁₂、B₂₁、B₂₂）を入力します。計算ボタンを押すと、積の行列ABが2×2の形ですべて表示されます。小数やマイナスの値もそのまま入力できます。
計算式の解説
一般的なルールは \((AB)_{ij} = \sum_{k} A_{ik} \times B_{kj}\) です。これを2×2行列に当てはめると、次の4つの式に展開できます。
$$\begin{pmatrix} \text{A}_{11} & \text{A}_{12} \\ \text{A}_{21} & \text{A}_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{B}_{11} & \text{B}_{12} \\ \text{B}_{21} & \text{B}_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{pmatrix}$$
$$\left\{ \begin{aligned} C_{11} &= \text{A}_{11}\,\text{B}_{11} + \text{A}_{12}\,\text{B}_{21} \\ C_{12} &= \text{A}_{11}\,\text{B}_{12} + \text{A}_{12}\,\text{B}_{22} \\ C_{21} &= \text{A}_{21}\,\text{B}_{11} + \text{A}_{22}\,\text{B}_{21} \\ C_{22} &= \text{A}_{21}\,\text{B}_{12} + \text{A}_{22}\,\text{B}_{22} \end{aligned} \right.$$
ここで重要なのは、行列の掛け算は一般に交換法則が成り立たないという点です。多くの場合 \(AB \neq BA\) となり、掛ける順番によって結果が変わります。
計算例
A = [[1, 2], [3, 4]]、B = [[5, 6], [7, 8]] としましょう。
$$C_{11} = 1 \times 5 + 2 \times 7 = 5 + 14 = \mathbf{19}$$$$C_{12} = 1 \times 6 + 2 \times 8 = 6 + 16 = \mathbf{22}$$$$C_{21} = 3 \times 5 + 4 \times 7 = 15 + 28 = \mathbf{43}$$$$C_{22} = 3 \times 6 + 4 \times 8 = 18 + 32 = \mathbf{50}$$
したがって AB = [[19, 22], [43, 50]] となります。
よくある質問（FAQ）
行列の掛け算に交換法則は成り立ちますか？ いいえ。一般に \(AB \neq BA\) なので、行列を掛ける順番が結果に影響します。
どんなサイズの行列なら掛けられますか？ Aの列数とBの行数が一致している必要があります。本ツールは2×2どうしの掛け算に特化しており、結果は必ず2×2行列になります。
マイナスや小数の値も入力できますか？ はい。マイナスや小数を含め、あらゆる実数を入力できます。
