행렬 곱셈이란?
행렬 곱셈은 두 개의 행렬을 하나의 곱 행렬로 결합하는 연산입니다. 두 2×2 행렬 A와 B의 곱 AB 역시 2×2 행렬이며, 각 성분은 A의 한 행과 B의 한 열을 곱해 더한 값으로 구성됩니다. 이것이 바로 행×열 '내적' 규칙입니다. 이 계산기는 선형대수학, 컴퓨터 그래픽스, 물리학 전반에서 가장 많이 쓰이는 2×2 행렬 곱을 손쉽게 처리해 줍니다.
계산기 사용 방법
행렬 A의 네 값(\(\text{A}_{11}\), \(\text{A}_{12}\), \(\text{A}_{21}\), \(\text{A}_{22}\))과 행렬 B의 네 값(\(\text{B}_{11}\), \(\text{B}_{12}\), \(\text{B}_{21}\), \(\text{B}_{22}\))을 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 2×2 곱 행렬 AB 전체가 바로 출력됩니다. 소수와 음수도 모두 입력할 수 있습니다.
공식 한눈에 보기
일반 규칙은 \((AB)_{ij} = \sum_{k} A_{ik} \times B_{kj}\) 입니다. 2×2 행렬에서는 다음 네 개의 식으로 전개됩니다.
$$\left\{ \begin{aligned} C_{11} &= \text{A}_{11}\,\text{B}_{11} + \text{A}_{12}\,\text{B}_{21} \\ C_{12} &= \text{A}_{11}\,\text{B}_{12} + \text{A}_{12}\,\text{B}_{22} \\ C_{21} &= \text{A}_{21}\,\text{B}_{11} + \text{A}_{22}\,\text{B}_{21} \\ C_{22} &= \text{A}_{21}\,\text{B}_{12} + \text{A}_{22}\,\text{B}_{22} \end{aligned} \right.$$한 가지 유의할 점은 행렬 곱셈에는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다는 것입니다. 대부분의 경우 \(AB \neq BA\) 입니다.
예제로 이해하기
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\) 이라고 해 봅시다.
$$\begin{aligned} C_{11} &= 1\times5 + 2\times7 = 5 + 14 = \mathbf{19} \\ C_{12} &= 1\times6 + 2\times8 = 6 + 16 = \mathbf{22} \\ C_{21} &= 3\times5 + 4\times7 = 15 + 28 = \mathbf{43} \\ C_{22} &= 3\times6 + 4\times8 = 18 + 32 = \mathbf{50} \end{aligned}$$따라서 \(AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}\) 가 됩니다.
자주 묻는 질문
행렬 곱셈에 교환법칙이 성립하나요? 아니요. 일반적으로 \(AB \neq BA\) 이므로 곱하는 순서가 중요합니다.
어떤 크기의 행렬을 곱할 수 있나요? A의 열 개수와 B의 행 개수가 같아야 합니다. 이 계산기는 2×2 × 2×2 곱셈에 특화되어 있으며, 결과는 언제나 2×2 행렬입니다.
음수나 소수를 입력해도 되나요? 네. 음수와 소수를 포함한 모든 실수를 입력할 수 있습니다.
