Калькулятор умножения матриц

Введите расчет

Размеры матриц: A — 2×2, B — 2×2 (результат — 2×2)

A₁₁

A₁₂

A₂₁

A₂₂

B₁₁

B₁₂

B₂₁

B₂₂

Результатов

Матрица-произведение AB

19

22

43

50

Результирующая матрица 2×2

C₁₁	19
C₁₂	22
C₂₁	43
C₂₂	50

Что такое умножение матриц?

Умножение матриц объединяет две матрицы в одну матрицу-произведение. Для двух матриц 2×2 (A и B) их произведение AB — это снова матрица 2×2, в которой каждый элемент получается перемножением строки матрицы A на столбец матрицы B с последующим сложением результатов. Это и есть правило «строка на столбец», или скалярное произведение. Калькулятор работает с самым распространённым случаем 2×2, который встречается в линейной алгебре, компьютерной графике и физике.

Как пользоваться калькулятором

Введите четыре числа матрицы A (\(A_{11}\), \(A_{12}\), \(A_{21}\), \(A_{22}\)) и четыре числа матрицы B (\(B_{11}\), \(B_{12}\), \(B_{21}\), \(B_{22}\)). Нажмите «Рассчитать» — и калькулятор выдаст полную матрицу-произведение AB размером 2×2. Поддерживаются дробные и отрицательные числа.

Разбор формулы

Общее правило выглядит так: $$(AB)_{ij} = \sum_{k} A_{ik} \times B_{kj}$$. Для матриц 2×2 оно раскрывается в четыре уравнения:

$$\begin{aligned} C_{11} &= A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} \\ C_{12} &= A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ C_{21} &= A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} \\ C_{22} &= A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{aligned}$$

Обратите внимание: умножение матриц, как правило, не коммутативно — в большинстве случаев \(AB \neq BA\).

Реклама

Каждый элемент произведения получается из строки A и столбца B.

Пример с решением

Пусть \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) и \(B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\).

$$\begin{aligned} C_{11} &= 1\times5 + 2\times7 = 5 + 14 = \mathbf{19} \\ C_{12} &= 1\times6 + 2\times8 = 6 + 16 = \mathbf{22} \\ C_{21} &= 3\times5 + 4\times7 = 15 + 28 = \mathbf{43} \\ C_{22} &= 3\times6 + 4\times8 = 18 + 32 = \mathbf{50} \end{aligned}$$

Итак, \(AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}\).

Разобранный пример умножения 2×2: каждая ячейка результата — сумма двух произведений.

Частые вопросы

Коммутативно ли умножение матриц? Нет. В общем случае \(AB \neq BA\), поэтому порядок матриц имеет значение.

Какие размеры матриц можно перемножать? Число столбцов матрицы A должно совпадать с числом строк матрицы B. Этот калькулятор рассчитан на умножение 2×2 на 2×2, результатом которого всегда будет матрица 2×2.

Можно ли вводить отрицательные или дробные числа? Да. Принимаются любые действительные числа, включая отрицательные и десятичные дроби.