Калькулятор умножения матриц (произведение)

Введите расчет

Порядок умножения A × B = C B × A = C

Матрица A {a_ij} Строки разделяйте точкой с запятой, элементы — запятой.

Матрица B {b_jk} Строки разделяйте точкой с запятой, элементы — запятой.

Результатов

Matrix product (C) — 2×2

[

19	22
43	50

]

Строк в результате	2
Столбцов в результате	2
Top-left element c11	19
Произведение (по строкам)	19,22;43,50

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент вычисляет произведение двух матриц — \(C = A\cdot B\) или \(C = B\cdot A\) — по стандартным правилам линейной алгебры. Он подходит для квадратных и прямоугольных матриц, а также для строк-векторов и столбцов-векторов. Умножение матриц — это универсальная математика, поэтому результат одинаков в любой точке мира: никаких единиц измерения, привязки к стране или местных нюансов здесь нет.

Как пользоваться

Введите матрицу A и матрицу B в виде текста. Строки разделяйте точкой с запятой, а элементы внутри строки — запятой. Например, матрица [[1,2],[3,4]] записывается как 1,2;3,4. Выберите порядок умножения: A × B = C или B × A = C (как правило, результаты различаются). Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть матрицу-произведение, её размеры и левый верхний элемент.

Разбор формулы

Для произведения \(M\cdot N = C\), где M имеет размер \(r \times s\), а N — размер \(s \times t\), каждый элемент вычисляется так:

$$\left(\mathbf{M}\,\mathbf{N}\right)_{ik} = \sum_{j=1}^{n} m_{ij}\,n_{jk}$$

Иначе говоря, элемент в строке i и столбце k результата — это скалярное произведение i-й строки левой матрицы на k-й столбец правой. Произведение существует только тогда, когда совпадают внутренние размеры: число столбцов левой матрицы должно равняться числу строк правой.

Умножение определено только при совпадении внутренних размерностей (A — m×n, B — n×p), результат — m×p.

Каждый элемент \(c_{ik}\) — это скалярное произведение строки i матрицы A на столбец k матрицы B.

Разбор примера

Пусть A = [[1,2],[3,4]] и B = [[5,6],[7,8]], порядок A × B. Внутренние размеры совпадают (2 = 2), поэтому результат имеет размер \(2 \times 2\).

$$c_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$$$$c_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$$$$c_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$$$$c_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$$

В итоге получаем C = [[19,22],[43,50]].

Частые вопросы

Почему произведение иногда не определено? Если число столбцов левой матрицы не равно числу строк правой, произведения не существует, и калькулятор сообщит о несоответствии размеров.

Совпадают ли A·B и B·A? Нет. Умножение матриц не коммутативно: один порядок может быть определён, а другой — нет. Выбирайте нужный порядок переключателем.

Можно ли умножать векторы? Да. Строка размером \(1 \times n\), умноженная на столбец \(n \times 1\), даёт скаляр \(1 \times 1\); в обратном порядке получится матрица \(n \times n\).