계산 입력

결과

Matrix product (C) — 2×2

[

19	22
43	50

]

결과 행 수	2
결과 열 수	2
Top-left element c₁₁	19
곱 행렬 (행 우선 순서)	19,22;43,50

이 계산기로 할 수 있는 것

이 도구는 선형대수의 표준 규칙을 적용해 두 행렬의 곱, 즉 $C = A\cdot B$ 또는 $C = B\cdot A$를 계산합니다. 정사각행렬은 물론 직사각행렬, 행벡터, 열벡터까지 모두 처리할 수 있습니다. 행렬 곱셈은 어디서나 동일하게 통하는 보편 수학이므로, 단위나 국가별 규정과 무관하게 결과는 전 세계 어디서든 똑같이 적용됩니다.

사용 방법

행렬 A와 행렬 B를 텍스트로 입력하세요. 행과 행은 세미콜론(;)으로, 한 행 안의 원소는 쉼표(,)로 구분합니다. 예를 들어 행렬 [[1,2],[3,4]]는 1,2;3,4 와 같이 입력합니다. 그다음 곱셈 순서를 A × B = C 또는 B × A = C 중에서 고르세요(두 결과는 일반적으로 서로 다릅니다). 계산 버튼을 누르면 곱 행렬과 함께 그 차원, 그리고 좌측 상단 원소가 함께 표시됩니다.

공식 풀이

M이 $r \times s$ 행렬, N이 $s \times t$ 행렬일 때 곱 $M\cdot N = C$의 각 원소는 다음과 같이 정의됩니다.

$$\left(\mathbf{A}\,\mathbf{B}\right)_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,b_{jk}$$

말로 풀면, 결과 행렬에서 i행 k열에 있는 원소는 왼쪽 행렬의 i행과 오른쪽 행렬의 k열을 내적한 값입니다. 곱은 안쪽 차원이 일치할 때에만 존재합니다. 즉, 왼쪽 행렬의 열 개수가 오른쪽 행렬의 행 개수와 같아야 합니다.

곱셈 가능 여부를 위해 안쪽 차원이 일치하는 두 인접한 행렬 — 곱셈은 안쪽 차원이 일치할 때만 정의되며(A는 m×n, B는 n×p), 결과는 m×p가 됩니다.

행렬 A의 한 행과 행렬 B의 한 열이 결합해 곱 행렬 C의 한 성분이 되는 과정을 보여주는 다이어그램 — 각 성분 $c_{ik}$는 A의 i행과 B의 k열의 내적입니다.

예제로 풀어 보기

A = [[1,2],[3,4]], B = [[5,6],[7,8]] 이고 순서를 A × B 로 두겠습니다. 안쪽 차원이 2 = 2 로 일치하므로 결과는 $2 \times 2$ 행렬입니다. $$c_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$$ $$c_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$$ $$c_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$$ $$c_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$$ 이 되어 C = [[19,22],[43,50]] 입니다.

자주 묻는 질문

곱이 정의되지 않을 때가 있는 이유는 무엇인가요? 왼쪽 행렬의 열 개수가 오른쪽 행렬의 행 개수와 다르면 곱이 존재하지 않으며, 이 경우 계산기는 차원이 맞지 않는다고 알려 줍니다.

A·B와 B·A는 같은가요? 아닙니다. 행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않습니다. 한 순서는 정의되는데 다른 순서는 아예 정의되지 않는 경우도 있습니다. 순서 선택 기능으로 원하는 순서를 고르세요.

벡터끼리도 곱할 수 있나요? 네. $1 \times n$ 행벡터에 $n \times 1$ 열벡터를 곱하면 $1 \times 1$ 스칼라가 나오고, 반대로 곱하면 $n \times n$ 행렬이 나옵니다.

행렬 곱셈(행렬 곱) 계산기