ما هو ضرب المصفوفات؟
ضرب المصفوفات هو عملية تدمج مصفوفتين في مصفوفة ناتج واحدة. عند ضرب مصفوفتين من نوع 2×2 هما A وB، فإن الناتج AB يكون مصفوفة 2×2 أخرى يُحسب فيها كل عنصر بضرب أحد صفوف A في أحد أعمدة B ثم جمع النواتج — وهي القاعدة المعروفة بـ«ضرب الصف في العمود» أو الجداء النقطي. تتعامل هذه الحاسبة مع الحالة الشائعة 2×2 المستخدمة في الجبر الخطي ورسوميات الحاسوب والفيزياء.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الأرقام الأربعة للمصفوفة A (وهي \(A_{11}\) و\(A_{12}\) و\(A_{21}\) و\(A_{22}\)) والأرقام الأربعة للمصفوفة B (وهي \(B_{11}\) و\(B_{12}\) و\(B_{21}\) و\(B_{22}\)). اضغط على زر الحساب فتعرض لك الأداة مصفوفة الناتج AB كاملةً من نوع 2×2. الأداة تدعم الأرقام العشرية والسالبة بالكامل.
شرح القاعدة الرياضية
القاعدة العامة هي \((AB)_{ij} = \sum_{k} A_{ik} \times B_{kj}\). وبالنسبة لمصفوفتي 2×2 تتفرّع هذه القاعدة إلى أربع معادلات:
$$\begin{aligned} C_{11} &= A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} \\ C_{12} &= A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ C_{21} &= A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} \\ C_{22} &= A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{aligned}$$وانتبه إلى أن ضرب المصفوفات لا يخضع لخاصية التبديل في الغالب؛ أي أن \(AB \neq BA\) في معظم الحالات.
مثال محلول
لنفترض أن A = [[1، 2]، [3، 4]] وأن B = [[5، 6]، [7، 8]].
$$\begin{aligned} C_{11} &= 1\times5 + 2\times7 = 5 + 14 = \mathbf{19} \\ C_{12} &= 1\times6 + 2\times8 = 6 + 16 = \mathbf{22} \\ C_{21} &= 3\times5 + 4\times7 = 15 + 28 = \mathbf{43} \\ C_{22} &= 3\times6 + 4\times8 = 18 + 32 = \mathbf{50} \end{aligned}$$إذن AB = [[19، 22]، [43، 50]].
الأسئلة الشائعة
هل ضرب المصفوفات قابل للتبديل؟ لا. بشكل عام \(AB \neq BA\)، لذا فإن ترتيب المصفوفتين مهم ويؤثر على الناتج.
ما الأبعاد التي يمكن ضربها؟ يجب أن يساوي عدد أعمدة المصفوفة A عدد صفوف المصفوفة B. وتركّز هذه الأداة على ضرب مصفوفة 2×2 في مصفوفة 2×2، وهو ما ينتج عنه دائمًا مصفوفة 2×2.
هل يمكنني إدخال قيم سالبة أو عشرية؟ نعم. تُقبل جميع الأعداد الحقيقية، بما في ذلك الأعداد السالبة والعشرية.
