ما المقصود بالدالة المتممة؟
في علم المثلثات، لكل دالة "دالة متممة" — أي شريك تتساوى قيمته عند الزاوية المتممة مع قيمة الدالة الأصلية. فالجيب (جا) يقترن بجيب التمام (جتا)، والظل (ظا) بظل التمام (ظتا)، والقاطع (قا) بقاطع التمام (قتا). والزاوية المتممة هي المقدار الذي تضيفه إلى زاويتك لتصل إلى \(90^{\circ}\) (أو \(\frac{\pi}{2}\) راديان). تقوم هذه الحاسبة بإيجاد هذا المتمم وإعادة كتابة كل نسبة مثلثية بدلالة دالتها المتممة.
كيفية الاستخدام
أدخل الزاوية \(\theta\)، واختر ما إذا كانت بالدرجات أم بالراديان، فتعرض لك الحاسبة الزاوية المتممة إلى جانب العلاقات الثلاث بين الدوال المتممة. فعند زاوية مقدارها \(30^{\circ}\)، يكون المتمم \(60^{\circ}\)، ومن ثَمّ: جا(30°) = جتا(60°)، وظا(30°) = ظتا(60°)، وقا(30°) = قتا(60°).
شرح الصيغة
تنبع هذه المتطابقات مباشرةً من هندسة المثلث القائم الزاوية: فمجموع الزاويتين غير القائمتين يساوي دائمًا \(90^{\circ}\)، وبالتالي فإن الضلع "المقابل" لإحدى الزاويتين هو نفسه "المجاور" للأخرى. وهذا ما يجعل الجيب وجيب التمام يتبادلان الأدوار. وبالرموز:
$$\sin\theta = \cos\left(90^{\circ} - \theta\right)$$وظا θ = ظتا(90° − θ)، وقا θ = قتا(90° − θ). كما تصحّ العلاقات العكسية أيضًا (جتا θ = جا(90° − θ)، وهكذا).
مثال محلول
لنفترض أن \(\theta = 25^{\circ}\). يكون المتمم \(90 - 25 = 65^{\circ}\). وعليه: \(\sin(25^{\circ}) = \cos(65^{\circ}) \approx 0.4226\)، و\(\tan(25^{\circ}) = \cot(65^{\circ}) \approx 0.4663\)، و\(\sec(25^{\circ}) = \csc(65^{\circ}) \approx 1.1034\). تنجز الحاسبة عملية حساب المتمم فورًا، حتى تتمكن من تطبيق أي متطابقة من متطابقات الدوال المتممة.
الأسئلة الشائعة
هل تنطبق متطابقات الدوال المتممة على الراديان؟ نعم. ما عليك سوى استبدال \(90^{\circ}\) بـ \(\frac{\pi}{2}\). والحاسبة تتعامل مع الوحدتين معًا.
ماذا لو كانت زاويتي أكبر من 90°؟ تظل المتطابقات صحيحة جبريًا؛ غير أن المتمم يصبح سالبًا، وهذا أمر مقبول رياضيًا.
لماذا تُسمى دوالًا متممة؟ إن البادئة "تمام" (في جيب التمام، وظل التمام، وقاطع التمام) تعني حرفيًا "متمم الزاوية" — أي دالة الزاوية المتممة.
