ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة أيًّا من الدوال المثلثية (الدائرية) الست — الجيب (جا)، وجيب التمام (جتا)، والظل (ظا)، وظل التمام (ظتا)، والقاطع (قا)، وقاطع التمام (قتا) — لزاوية تكتبها على هيئة مضاعف لـ باي راديان. فبدلاً من كتابة كسر عشري متعب مثل 1.0471975512، يكفي أن تُدخل قيمة n لتقوم الحاسبة بإيجاد قيمة الدالة عند الزاوية \(\theta = n \times \pi\). أي أنّ \(n = 1\) تعني \(\pi\) راديان (180 درجة)، و\(n = 0.5\) تعني \(\pi/2\) (90 درجة)، و\(n = 1/3\) تعني \(\pi/3\) (60 درجة).
طريقة الاستخدام
اختر الدالة المطلوبة من قائمة احسب:، ثم اكتب قيمة n في خانة للزاوية:. والقيم السالبة مسموح بها، وهو أمر مفيد لأن الجيب والظل وظل التمام وقاطع التمام دوال فردية، بينما جيب التمام والقاطع دالتان زوجيتان. اضغط على زر الحساب لترى القيمة، والزاوية معبّرًا عنها بالراديان العادي، مع إشارة إلى الدالة المستخدمة.
شرح المعادلة
تُحوَّل الزاوية أولاً: $$\theta = n \times \pi.$$ ثم يُحسب الجيب وجيب التمام مباشرة، وتُشتق الدوال الأربع المتبقية كالتالي: $$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.$$ ولأن الحواسيب لا تستطيع تخزين قيمة باي بدقة تامة، فإن قيمًا مثل \(\sin(\pi)\) تظهر كرقم متناهٍ في الصغر مثل \(1.2\times 10^{-16}\) بدلاً من صفر صريح. ولذلك تقرّب الحاسبة أي مقدار أصغر من \(1\times 10^{-12}\) إلى الصفر تمامًا، وهو ما يتيح لها أيضًا إظهار النتيجة بشكل صحيح على أنها غير مُعرَّفة عندما يصبح المقام صفرًا — مثل الظل والقاطع عند القيم نصف الصحيحة الفردية لـ \(n\)، أو ظل التمام وقاطع التمام عند القيم الصحيحة لـ \(n\).
مثال محلول
اختر جتا وأدخل \(n = 0.333333\) (ثلث)، فتكون الزاوية \(\theta = \pi/3\)، و\(\cos(\pi/3) = 0.5\)، وبذلك تكون النتيجة 0.5. واختر قتا مع \(n = 0.166667\) (سُدس): تصبح الزاوية \(\theta = \pi/6\)، والجيب \(= 0.5\)، فيكون \(\csc = 1/0.5 = 2\).
الأسئلة الشائعة
لماذا نستخدم مضاعفات باي؟ تُكتب الزوايا في علم المثلثات بصورة أكثر طبيعية بالراديان، والزوايا «المريحة» هي كسور بسيطة من باي. وإدخال n مباشرةً يجنّبك تقريب الزاوية بنفسك.
متى تكون النتيجة غير معرَّفة؟ كلما قسمت الدالة على صفر: الظل والقاطع حيث \(\cos = 0\) (عند \(n = k + 0.5\))، وظل التمام وقاطع التمام حيث \(\sin = 0\) (عندما تكون \(n\) عددًا صحيحًا).
هل تتعامل مع قيم n الكبيرة جدًا؟ نعم، لكن خطأ الفاصلة العائمة في المُعامل يزداد مع كبر القيمة، لذا تفقد القيم المتطرفة بعضًا من دقتها. والأداة مخصصة للتعليم والتحقق السريع.
