ماذا تفعل هذه الأداة
هذه حاسبة متعددة الأنماط للمسائل اللفظية الكلاسيكية في الجبر والحساب التي تصادفها في المدرسة: حساب القيمة الإجمالية لكومة من العملات المعدنية، تقسيم طول إلى أجزاء متساوية، معرفة عدد قطع كل نوع من نوعين من العملات لديك، إيجاد أعمار ثلاثة أشخاص انطلاقًا من العلاقة بينهم، وحساب نسبة التغيّر المئوية. اختر نوع المسألة، أدخل الأرقام، فتظهر لك النتيجة في الحال. تُعرض كل القيم المالية بالدولار الأمريكي، لكن الحساب نفسه عالمي — يمكنك استبدال الدولار بأي عملة أو أي وحدة قياس أخرى.
طريقة الاستخدام
اختر نوع المسألة من القائمة المنسدلة. عندها يعرض النموذج الحقول التي تهمّ هذا النمط فقط. أدخل أعداد العملات أو الأطوال أو الأعمار أو القيم المالية كأرقام صحيحة، فتظهر النتيجة مع الجواب والأرقام المساندة له. وإذا لم يكن للمسألة حلٌّ صالح (مثل نوعين من العملات لهما القيمة الاسمية نفسها، أو قسمة على صفر)، فإن الحاسبة توضّح السبب بدلًا من إعطاء رقم مضلِّل.
شرح المعادلات
في حالة القيمة الإجمالية للعملات، يُضرب عدد كل نوع في قيمته الاسمية بالسنتات (1، 5، 10، 25، 50، 100) ثم تُجمع النواتج، والقسمة على 100 تعطي القيمة بالدولار:
$$V = 1p + 5n + 10d + 25q + 50h + 100D$$وفي حالة نوعين مجهولي العدد من العملات، لديك معادلتان: مجموع الأعداد يساوي العدد الكلي للعملات (\(x + y = N\))، ومجموع قيمها يساوي المبلغ الكلي (\(v_1 x + v_2 y = T\) بالسنتات). وبالطرح نحصل على:
$$y = \dfrac{T - v_1 N}{v_2 - v_1}, \quad x = N - y$$وفي حالة الأعمار الثلاثة، إذا كان شخصان أصغر من شخص مرجعي بفرقَين \(o_1\) و\(o_2\)، ومجموع الأعمار الثلاثة يساوي \(S\)، فإن \(3a - o_1 - o_2 = S\)، ومنه:
$$a = \dfrac{S + o_1 + o_2}{3}$$أما نسبة التغيّر المئوية فهي:
$$\%\Delta = \dfrac{V_{new} - V_{old}}{|V_{old}|}\times 100$$
مثال محلول
لنفترض أن لديك 8 عملات من فئتي العشرة سنتات (10¢) ونصف الدولار (50¢) تساوي 1.60 دولار في المجموع. عندئذٍ \(T = 160\) سنتًا، \(N = 8\)، \(v_1 = 10\)، \(v_2 = 50\).
$$y = \dfrac{160 - 10 \cdot 8}{50 - 10} = \dfrac{80}{40} = 2$$من فئة نصف الدولار، و\(x = 8 - 2 = 6\) من فئة العشرة سنتات. للتحقق: \(6 \cdot 10 + 2 \cdot 50 = 160\)¢ = 1.60 دولار. صحيح.
قيم العملات الأمريكية
تعتمد كل مسألة كلامية عن العملات على معرفة القيمة الاسمية لكل عملة. القيم مدرجة أدناه بالسنتات والدولارات. العمل بالسنتات يبقي العمليات الحسابية في الأعداد الصحيحة ويتجنب أخطاء التقريب؛ حول إلى الدولارات فقط في النهاية.
| العملة | القيمة (سنتات) | القيمة (دولارات) |
|---|---|---|
| قرش | 1¢ | $0.01 |
| نيكل | 5¢ | $0.05 |
| ديم | 10¢ | $0.10 |
| ربع | 25¢ | $0.25 |
| نص دولار | 50¢ | $0.50 |
| عملة الدولار | 100¢ | $1.00 |
لإجمالي كومة مختلطة، اضرب عدد كل عملة في قيمتها وأضف النواتج: \(T = 1p + 5n + 10d + 25q + 50h + 100D\) (بالسنتات)، حيث \(p,n,d,q,h,D\) هي عدد القروش والنيكلات والديمات والأرباع والنصف دولارات وعملات الدولار.
أمثلة عملية إضافية
1. القيمة الإجمالية لكومة مختلطة
يحتوي جرة على 14 قرش، 8 نيكلات، 12 ديم، 6 أرباع و 2 نصف دولار. اضرب كل عدد في قيمته الاسمية (بالسنتات) وأضف:
$$T = 1(14) + 5(8) + 10(12) + 25(6) + 50(2)$$ $$T = 14 + 40 + 120 + 150 + 100 = 424 \text{ سنت} = \$4.24$$التحقق: الأرباع الـ 6 وحدها بقيمة 1.50$ والـ 2 نصف دولار بقيمة 1.00$، مما يجعل المجموع 2.50$؛ والنقود الصغيرة المتبقية (0.14$ + 0.40$ + 1.20$ = 1.74$) تحمل المجموع إلى 4.24$. ✓
2. ثلاثة أعمار مرتبطة
لثلاثة إخوة أعمار مجموعها \(S = 48\). الطفل الأوسط أكبر من الأصغر بـ 4 سنوات، والأكبر أكبر من الأصغر بـ 10 سنوات. فليكن عمر الأصغر \(x\). ثم الفروقات هي \(4\) و \(10\):
$$x + (x + 4) + (x + 10) = 48$$ $$3x + 14 = 48 \quad\Rightarrow\quad 3x = 34$$هنا \(3x = 34\) غير قابل للقسمة على 3، لذا هذه الصيغة الدقيقة لا تحتوي على حل عدد صحيح. بتعديل المجموع إلى \(S = 49\) نحصل على \(3x = 35\) — لا تزال غير صحيحة. مع \(S = 50\): \(3x = 36\)، لذا \(x = 12\). الأعمار هي 12، 16 و 22.
التحقق: \(12 + 16 + 22 = 50\) ✓، الأوسط هو \(12 + 4 = 16\) ✓، والأكبر هو \(12 + 10 = 22\) ✓.
3. النسبة المئوية للتغير
ارتفعت قيمة عملة نادرة من سعر قديم قدره 80$ إلى سعر جديد قدره 92$. نسبة التغير هي:
$$\text{التغير} = \frac{\text{جديد} - \text{قديم}}{\text{قديم}} \times 100\% = \frac{92 - 80}{80} \times 100\%$$ $$= \frac{12}{80} \times 100\% = 0.15 \times 100\% = \href{}{} 15\%$$لذا زادت القيمة بـ 15%.
التحقق: 15% من 80$ هي \(0.15 \times 80 = \$12\)، و \(80 + 12 = 92\)، وهذا يتطابق مع القيمة الجديدة. ✓
المصطلحات الأساسية في هذه المسائل
- إجمالي عدد العملات (N) — عدد جميع العملات مجتمعة، بغض النظر عن النوع. في مسألة ذات عملتين، \(N = x + y\)، حيث \(x\) و \(y\) هما عدد النوعين من العملات.
- المبلغ الإجمالي (T) — القيمة النقدية المجمعة لجميع العملات، عادة ما يتم التعبير عنها بالسنتات أثناء الحساب والتحويل إلى دولارات في النهاية.
- القيمة الاسمية (v) — القيمة الرسمية لعملة واحدة (على سبيل المثال، للديم \(v = 10\) سنتات). في الصيغة، \(v_1\) و \(v_2\) هما القيم الاسمية لنوعي العملات اللذين يتم حلهما.
- فارق العمر — العدد الثابت من السنوات التي يختلف بها عمر شخص ما عن شخص مرجعي (عادة الأصغر). على سبيل المثال، "أكبر بـ 4 سنوات" فارق بـ \(+4\).
- مجموع الأعمار (S) — مجموع جميع الأعمار مضافة معا. مع عمر مرجعي \(x\) وفروقات \(a\) و \(b\): \(x + (x+a) + (x+b) = S\)، إذن \(x = (S - a - b)/3\).
- القيمة القديمة / القيمة الجديدة — الكمية الابتدائية (الأصلية) والكمية النهائية في مسألة نسبة مئوية للتغير. القيمة القديمة هي الأساس الذي يتم قياس التغير عليه.
- النسبة المئوية للتغير — الفرق النسبي بين القيم الجديدة والقديمة، \(\dfrac{\text{جديد} - \text{قديم}}{\text{قديم}} \times 100\%\). النتيجة الإيجابية تشير إلى زيادة؛ والنتيجة السالبة تشير إلى نقصان.
الأسئلة الشائعة
لماذا تظهر أحيانًا عبارة «لا يوجد حل صالح»؟ مسألة العملات لا يكون لها جواب ذو معنى إلا حين يخرج العددان كقيمتين صحيحتين غير سالبتين؛ وإلا فإن المجاميع التي أدخلتها متناقضة فيما بينها.
هل يمكن أن تخرج الأعمار بكسور عشرية؟ نعم — إذا لم يكن مجموع الأعمار زائدًا الفروق قابلًا للقسمة على 3، فستأتي الأعمار كسرية، وهذا مؤشر على أن بيانات المسألة لا تمثل سيناريو بأعداد صحيحة دقيقة.
هل هذه الأداة مخصصة للدولار الأمريكي فقط؟ حقول المال موسومة بالدولار للتيسير فحسب، لكن الحساب يصلح لأي عملة أو وحدة تختار أن تفسّر بها الأرقام.
