À quoi sert ce résolveur
Voici une calculatrice multi-modes pensée pour les grands classiques de l'algèbre et de l'arithmétique qu'on rencontre à l'école : calculer la valeur totale d'un tas de pièces, partager une longueur en parts égales, déterminer combien on a de chacun de deux types de pièces, retrouver l'âge de trois personnes à partir de leurs écarts d'âge, et calculer une variation en pourcentage. Choisissez un type de problème, saisissez les chiffres et la réponse s'affiche aussitôt. Tous les montants sont exprimés en dollars américains, mais le raisonnement mathématique est universel : remplacez mentalement les dollars par n'importe quelle devise ou unité (euros, centimes d'euro, etc.).
Comment l'utiliser
Sélectionnez un type de problème dans le menu déroulant. Le formulaire n'affiche alors que les champs utiles à ce mode. Entrez des nombres entiers de pièces, des longueurs, des âges ou des montants : le résultat apparaît avec la réponse et les valeurs intermédiaires. Si un problème n'a pas de solution valable (par exemple deux types de pièces de même valeur faciale, ou une division par zéro), la calculatrice vous explique pourquoi plutôt que de renvoyer un nombre trompeur.
Les formules expliquées
Pour la valeur totale des pièces, chaque effectif est multiplié par sa valeur faciale en cents (1, 5, 10, 25, 50, 100) puis additionné ; on divise par 100 pour obtenir des dollars.
$$V = 1p + 5n + 10d + 25q + 50h + 100D$$Pour les deux quantités de pièces inconnues, on dispose de deux équations : les effectifs s'additionnent pour donner le nombre total de pièces (\(x + y = N\)) et leurs valeurs s'additionnent pour donner le montant total (\(v_1 \cdot x + v_2 \cdot y = T\) cents). Par soustraction,
$$y = \frac{T - v_1 N}{v_2 - v_1}, \quad x = N - y$$Pour les trois âges, si deux personnes sont plus jeunes qu'une personne de référence d'écarts \(o_1\) et \(o_2\), et que les trois âges totalisent \(S\), alors \(3a - o_1 - o_2 = S\), d'où
$$a = \frac{S + o_1 + o_2}{3}$$La variation en pourcentage vaut
$$\%\Delta = \frac{V_{new} - V_{old}}{|V_{old}|}\times 100$$
Exemple résolu
Supposons que vous ayez 8 pièces composées de dimes (10¢) et de half dollars (50¢) valant 1,60 $ au total. On a alors \(T = 160\) cents, \(N = 8\), \(v_1 = 10\), \(v_2 = 50\).
$$y = \frac{160 - 10 \cdot 8}{50 - 10} = \frac{80}{40} = 2 \text{ half dollars}$$et \(x = 8 - 2 = 6\) dimes. Vérification : \(6 \cdot 10 + 2 \cdot 50 = 160\)¢ \(= 1{,}60\) $. C'est correct.
Valeurs faciales des pièces de monnaie américaines
Chaque problème de pièces de monnaie dépend de la connaissance de la valeur faciale de chaque pièce. Les valeurs sont énumérées ci-dessous en cents et en dollars. Travailler en cents garde l'arithmétique en nombres entiers et évite les erreurs d'arrondi ; ne convertir en dollars que à la fin.
| Pièce de monnaie | Valeur (cents) | Valeur (dollars) |
|---|---|---|
| Penny | 1¢ | $0.01 |
| Nickel | 5¢ | $0.05 |
| Dime | 10¢ | $0.10 |
| Quarter | 25¢ | $0.25 |
| Half dollar | 50¢ | $0.50 |
| Dollar coin | 100¢ | $1.00 |
Pour totaliser un mélange de pièces, multipliez le nombre de chaque pièce par sa valeur et ajoutez les produits : \(T = 1p + 5n + 10d + 25q + 50h + 100D\) (en cents), où \(p,n,d,q,h,D\) sont les nombres de pennies, nickels, dimes, quarters, half dollars et dollar coins.
Davantage d'exemples résolus
1. Valeur totale d'un mélange de pièces
Un bocal contient 14 pennies, 8 nickels, 12 dimes, 6 quarters et 2 half dollars. Multipliez chaque nombre par sa valeur faciale (en cents) et ajoutez :
$$T = 1(14) + 5(8) + 10(12) + 25(6) + 50(2)$$ $$T = 14 + 40 + 120 + 150 + 100 = 424 \text{ cents} = \$4.24$$Vérification : Les 6 quarters seuls valent $1.50 et les 2 half dollars valent $1.00, totalisant $2.50 ; les petits échanges restants ($0.14 + $0.40 + $1.20 = $1.74) portent le total à $4.24. ✓
2. Trois âges connexes
Trois frères et sœurs ont des âges qui s'ajoutent à \(S = 48\). L'enfant du milieu a 4 ans de plus que le plus jeune, et le plus ancien a 10 ans de plus que le plus jeune. Soit l'âge du plus jeune \(x\). Alors les décalages sont \(4\) et \(10\) :
$$x + (x + 4) + (x + 10) = 48$$ $$3x + 14 = 48 \quad\Rightarrow\quad 3x = 34$$Ici \(3x = 34\) n'est pas divisible par 3, donc ce libellé exact n'a pas de solution en nombres entiers. En ajustant la somme à \(S = 49\), on obtient \(3x = 35\) — toujours pas un nombre entier. Avec \(S = 50\) : \(3x = 36\), donc \(x = 12\). Les âges sont 12, 16 et 22.
Vérification : \(12 + 16 + 22 = 50\) ✓, le milieu est \(12 + 4 = 16\) ✓, et le plus ancien est \(12 + 10 = 22\) ✓.
3. Changement de pourcentage
Une pièce de collection a augmenté de valeur d'un ancien prix de $80 à un nouveau prix de $92. Le changement de pourcentage est :
$$\text{changement} = \frac{\text{nouveau} - \text{ancien}}{\text{ancien}} \times 100\% = \frac{92 - 80}{80} \times 100\%$$ $$= \frac{12}{80} \times 100\% = 0.15 \times 100\% = \href{}{} 15\%$$Donc la valeur a augmenté de 15%.
Vérification : 15 % de $80 est \(0.15 \times 80 = \$12\), et \(80 + 12 = 92\), correspondant à la nouvelle valeur. ✓
Termes clés dans ces problèmes
- Nombre total de pièces (N) — le nombre de toutes les pièces réunies, quel que soit le type. Dans un problème à deux pièces, \(N = x + y\), où \(x\) et \(y\) sont les nombres des deux types de pièces.
- Montant total (T) — la valeur monétaire combinée de toutes les pièces, généralement exprimée en cents lors du calcul et convertie en dollars à la fin.
- Valeur faciale (v) — la valeur officielle d'une seule pièce (par exemple, une dime a \(v = 10\) cents). Dans la formule, \(v_1\) et \(v_2\) sont les valeurs faciales des deux types de pièces à résoudre.
- Décalage d'âge — le nombre fixe d'années de différence d'âge d'une personne par rapport à une personne de référence (généralement la plus jeune). Par exemple, « 4 ans de plus » est un décalage de \(+4\).
- Somme des âges (S) — le total de tous les âges ajoutés ensemble. Avec un âge de référence \(x\) et des décalages \(a\) et \(b\) : \(x + (x+a) + (x+b) = S\), donc \(x = (S - a - b)/3\).
- Ancienne valeur / nouvelle valeur — la quantité initiale (originale) et la quantité finale dans un problème de changement de pourcentage. L'ancienne valeur est la ligne de base par rapport à laquelle le changement est mesuré.
- Changement de pourcentage — la différence relative entre les valeurs nouvelles et anciennes, \(\dfrac{\text{nouveau} - \text{ancien}}{\text{ancien}} \times 100\%\). Un résultat positif est une augmentation ; un résultat négatif est une diminution.
FAQ
Pourquoi affiche-t-il parfois « pas de solution valable » ? Un problème de pièces n'a de réponse cohérente que si les deux effectifs sont des nombres entiers positifs ou nuls ; sinon, les totaux que vous avez saisis sont incompatibles entre eux.
Les âges peuvent-ils être des nombres décimaux ? Oui : si la somme augmentée des écarts n'est pas divisible par 3, les âges seront fractionnaires, signe que les données du problème ne correspondent pas à un scénario en nombres entiers « propre ».
Est-ce réservé aux dollars américains ? Les champs monétaires sont libellés en dollars par commodité, mais le calcul fonctionne pour n'importe quelle devise ou unité que vous décidez d'y associer (l'euro, par exemple).
