Bu çözücü ne işe yarar?
Bu, okul yıllarınızdan tanıdık klasik cebir ve aritmetik problemleri için çok modlu bir hesaplayıcıdır: bir avuç bozuk paranın toplam değerini bulmak, bir uzunluğu eşit parçalara bölmek, iki farklı tür madeni paradan kaçar tane olduğunu çözmek, üç kişinin yaşını aralarındaki ilişkiden hesaplamak ve yüzde değişimini bulmak. Problem türünü seçin, sayıları girin, sonuç anında karşınıza gelsin. Tüm para değerleri ABD doları cinsinden gösterilir; ancak altta yatan matematik evrenseldir — doları istediğiniz para birimine veya birime rahatça çevirebilirsiniz.
Nasıl kullanılır?
Açılır menüden bir Problem türü seçin. Form, yalnızca o moda ait alanları gösterecek şekilde değişir. Tam sayı olarak madeni para adetlerini, uzunlukları, yaşları veya para tutarlarını girin; sonuç, ana cevabın yanında destekleyici değerlerle birlikte görüntülenir. Eğer problemin geçerli bir çözümü yoksa (örneğin nominal değerleri aynı olan iki madeni para türü veya sıfıra bölme), hesaplayıcı yanıltıcı bir sayı döndürmek yerine nedenini açıklar.
Formüller açıklanıyor
Toplam para değeri için her adet, kendi nominal değeriyle (sent cinsinden: 1, 5, 10, 25, 50, 100) çarpılır ve toplanır; 100'e bölünce dolar elde edilir.
$$V = 1p + 5n + 10d + 25q + 50h + 100D$$İki bilinmeyen madeni para adedi için iki denklem vardır: adetler toplam para sayısını verir (\(x + y = N\)) ve değerleri toplam parayı verir (\(v_1 \cdot x + v_2 \cdot y = T\) sent). Çıkarma işlemiyle $$y = \dfrac{T - v_1 N}{v_2 - v_1}, \quad x = N - y$$ bulunur. Üç yaş için, iki kişi bir referans kişiden \(o_1\) ve \(o_2\) kadar küçükse ve üç yaşın toplamı \(S\) ise, \(3a - o_1 - o_2 = S\) olur, yani $$a = \dfrac{S + o_1 + o_2}{3}$$ Yüzde değişimi ise $$\%\Delta = \dfrac{V_{new} - V_{old}}{|V_{old}|}\times 100$$ ile hesaplanır.
Örnek çözüm
Diyelim ki dime (10¢) ve half dollar (50¢) madeni paralardan oluşan, toplamda 1,60 dolar değerinde 8 paranız var. O halde \(T = 160\) sent, \(N = 8\), \(v_1 = 10\), \(v_2 = 50\) olur. $$y = \dfrac{160 - 10 \cdot 8}{50 - 10} = \dfrac{80}{40} = 2$$ adet half dollar ve \(x = 8 - 2 = 6\) adet dime. Kontrol edelim: \(6 \cdot 10 + 2 \cdot 50 = 160¢ = 1{,}60\,\$\). Doğru.
ABD Para Biriminin Yüz Değerleri
Her madeni para sözel problemi, her bir paranın yüz değerini bilmeye bağlıdır. Değerler aşağıda hem sent hem de dolar cinsinden listelenmiştir. Sent cinsinden çalışmak aritmetiği tam sayılarla tutar ve yuvarlama hatalarını önler; dönüştürmeyi dolar cinsine sadece en sonunda yapın.
| Para | Değer (sent) | Değer (dolar) |
|---|---|---|
| Penny | 1¢ | $0.01 |
| Nikel | 5¢ | $0.05 |
| Dime | 10¢ | $0.10 |
| Quarter | 25¢ | $0.25 |
| Yarım dolar | 50¢ | $0.50 |
| Dolar madeni para | 100¢ | $1.00 |
Karışık bir yığını toplamak için, her paranın sayısını değeriyle çarpın ve ürünleri toplayın: \(T = 1p + 5n + 10d + 25q + 50h + 100D\) (sent cinsinden), burada \(p,n,d,q,h,D\) penny, nikel, dime, quarter, yarım dolar ve dolar madeni paraların sayılarıdır.
Daha Fazla Çözülmüş Örnek
1. Karışık bir yığının toplam değeri
Bir kavanoz 14 penny, 8 nikel, 12 dime, 6 quarter ve 2 yarım dolar tutuyor. Her sayıyı yüz değeriyle (sent cinsinden) çarpın ve toplayın:
$$T = 1(14) + 5(8) + 10(12) + 25(6) + 50(2)$$ $$T = 14 + 40 + 120 + 150 + 100 = 424 \text{ sent} = \$4.24$$Kontrol: 6 quarter tek başına $1.50 ve 2 yarım dolar $1.00'dır, toplam $2.50; kalan küçük para ($0.14 + $0.40 + $1.20 = $1.74) toplama $4.24 ulaştırır. ✓
2. Üç ilişkili yaş
Üç kardeşin yaşları toplamda \(S = 48\) oluyor. Orta çocuk, en küçüğünden 4 yaş daha büyüktür ve en büyüğü en küçüğünden 10 yaş daha büyüktür. En küçük yaşa \(x\) diyelim. O zaman sapmaları \(4\) ve \(10\)'dur:
$$x + (x + 4) + (x + 10) = 48$$ $$3x + 14 = 48 \quad\Rightarrow\quad 3x = 34$$Burada \(3x = 34\) 3'e bölünemez, bu nedenle bu tam ifadenin tam sayı çözümü yoktur. Toplamı \(S = 49\) olarak ayarlamak \(3x = 35\) verir — hala tam değil. \(S = 50\) ile: \(3x = 36\), yani \(x = 12\). Yaşlar 12, 16 ve 22'dir.
Kontrol: \(12 + 16 + 22 = 50\) ✓, orta çocuk \(12 + 4 = 16\) ✓, ve en büyük \(12 + 10 = 22\) ✓.
3. Yüzde değişim
Bir koleksiyonluk madeni para eski fiyat olan $80'den yeni fiyat olan $92'ye yükseldi. Yüzde değişim şu şekildedir:
$$\text{değişim} = \frac{\text{yeni} - \text{eski}}{\text{eski}} \times 100\% = \frac{92 - 80}{80} \times 100\%$$ $$= \frac{12}{80} \times 100\% = 0.15 \times 100\% = \href{}{} 15\%$$Yani değer %15 arttı.
Kontrol: $80'nin %15'i \(0.15 \times 80 = \$12\)'dir ve \(80 + 12 = 92\), yeni değerle eşleşir. ✓
Bu Problemlerdeki Anahtar Terimler
- Toplam para sayısı (N) — türü ne olursa olsun tüm paraların sayısı. İki para probleminde, \(N = x + y\), burada \(x\) ve \(y\) iki para türünün sayılarıdır.
- Toplam tutar (T) — tüm paraların birleşik parasal değeri, genellikle hesaplama sırasında sent cinsinden ifade edilir ve sonunda dolar cinsine dönüştürülür.
- Yüz değer (v) — tek bir paranın resmi değeri (örneğin bir dime'nin \(v = 10\) sent değeri vardır). Formülde, \(v_1\) ve \(v_2\) çözüldüğü iki para türünün yüz değerleridir.
- Yaş sapması — bir kişinin yaşının referans kişiden (genellikle en küçük) farklı olduğu sabit yıl sayısı. Örneğin, "4 yaş daha büyük" bir sapması \(+4\)'tür.
- Yaş toplamı (S) — tüm yaşların toplandığı toplam. Referans yaş \(x\) ve sapmalar \(a\) ve \(b\) ile: \(x + (x+a) + (x+b) = S\), yani \(x = (S - a - b)/3\).
- Eski değer / yeni değer — yüzde değişim probleminde başlangıç (orijinal) miktarı ve bitiş miktarı. Eski değer, değişimin ölçüldüğü başlangıç noktasıdır.
- Yüzde değişim — yeni ve eski değerler arasındaki göreli fark, \(\dfrac{\text{yeni} - \text{eski}}{\text{eski}} \times 100\%\). Pozitif sonuç bir artış; negatif sonuç bir azalmadır.
Sıkça sorulan sorular
Neden bazen "geçerli çözüm yok" diyor? Bir madeni para problemi, ancak her iki adet de negatif olmayan tam sayı çıktığında anlamlı bir cevaba sahiptir; aksi halde girdiğiniz toplamlar birbiriyle tutarsızdır.
Yaşlar ondalıklı çıkabilir mi? Evet — toplam ile farklar 3'e tam bölünmüyorsa yaşlar kesirli çıkar; bu da problem verilerinin temiz bir tam sayı senaryosu olmadığını gösterir.
Bu yalnızca ABD doları için mi? Para alanları kolaylık olsun diye dolar etiketiyle gösterilir; ancak işlemler, bu değerleri hangi para birimi veya birim olarak yorumlarsanız o şekilde çalışır.
