這個求解器能幫你做什麼
這是一款多模式計算器，專門對付學生時代常碰到的經典代數與算術應用題：算出一堆硬幣的總值、把一段長度平均切成數份、推算出兩種硬幣各有幾枚、從彼此關係找出三個人的年齡，以及計算百分比變化。只要選好題型、輸入數字，答案立刻出現。所有金額都以美元（US dollars）顯示，但背後的數學原理人人通用——你大可把美元換成任何貨幣，或把單位換成你需要的任何單位。
使用方法
先從下拉選單挑一個題目類型，表單就只會顯示該模式需要的欄位。接著填入硬幣枚數、長度、年齡或金額（皆為整數），結果連同答案與相關佐證數字就會一併呈現。如果某道題無解（例如兩種硬幣面額相同，或出現除以零的情況），計算器會直接說明原因，而不是丟給你一個會誤導人的數字。
公式解析
硬幣總值：把每種硬幣的枚數乘上它以美分計的面額（1、5、10、25、50、100）再加總，最後除以 100 就換算成美元。 $$V = 1p + 5n + 10d + 25q + 50h + 100D$$ 兩種硬幣枚數未知：你會有兩條方程式——兩種硬幣枚數相加等於硬幣總數（\(x + y = N\)），兩者價值相加等於總金額（\(v_1 \cdot x + v_2 \cdot y = T\) 美分）。相減後得到 \(y = (T - v_1 \cdot N)/(v_2 - v_1)\)，再算出 \(x = N - y\)。 $$y = \dfrac{T - v_1 N}{v_2 - v_1}, \quad x = N - y$$ 三人年齡：若有兩人分別比基準者年輕 \(o_1\) 與 \(o_2\) 歲，三人年齡總和為 \(S\)，則 \(3a - o_1 - o_2 = S\)，因此 \(a = (S + o_1 + o_2)/3\)。 $$a = \dfrac{S + o_1 + o_2}{3}$$ 百分比變化則是（新值 − 舊值）/ |舊值| × 100。 $$\%\Delta = \dfrac{V_{new} - V_{old}}{|V_{old}|}\times 100$$
實例演算
假設你有 8 枚硬幣，由一角硬幣（dime，10¢）與半美元硬幣（half dollar，50¢）組成，總值 $1.60。那麼 \(T = 160\) 美分、\(N = 8\)、\(v_1 = 10\)、\(v_2 = 50\)。 $$y = \dfrac{160 - 10 \cdot 8}{50 - 10} = \dfrac{80}{40} = 2$$ 枚半美元硬幣，再算出 \(x = 8 - 2 = 6\) 枚一角硬幣。驗算：\(6 \cdot 10 + 2 \cdot 50 = 160¢ = \$1.60\)，完全正確。
美國硬幣面值
每個硬幣應用題都取決於了解每種硬幣的面值。以下列出了美分和美元兩種單位的價值。以美分計算可以保持算術為整數，避免舍入誤差；只在最後轉換為美元。
| 硬幣 | 價值（美分） | 價值（美元） |
|---|---|---|
| 便士 | 1¢ | $0.01 |
| 鎳幣 | 5¢ | $0.05 |
| 一角硬幣 | 10¢ | $0.10 |
| 二十五美分硬幣 | 25¢ | $0.25 |
| 半美元 | 50¢ | $0.50 |
| 美元硬幣 | 100¢ | $1.00 |
要計算混合硬幣堆的總值，將每種硬幣的數量乘以其面值，然後將乘積相加：\(T = 1p + 5n + 10d + 25q + 50h + 100D\)（以美分計），其中 \(p,n,d,q,h,D\) 分別是便士、鎳幣、一角硬幣、二十五美分硬幣、半美元和美元硬幣的數量。
更多求解範例
1. 混合硬幣堆的總值
一個罐子中有 14 枚便士、8 枚鎳幣、12 枚一角硬幣、6 枚二十五美分硬幣和 2 枚半美元。將每種硬幣的數量乘以其面值（以美分計）並相加：
$$T = 1(14) + 5(8) + 10(12) + 25(6) + 50(2)$$ $$T = 14 + 40 + 120 + 150 + 100 = 424 \text{ 美分} = \$4.24$$驗證：6 枚二十五美分硬幣單獨價值 $1.50，2 枚半美元價值 $1.00，共計 $2.50；剩餘的零錢（$0.14 + $0.40 + $1.20 = $1.74）使總額達到 $4.24。✓
2. 三個相關的年齡
三個兄弟姐妹的年齡總和為 \(S = 48\)。中間的孩子比最小的大 4 歲，最大的比最小的大 10 歲。設最小的年齡為 \(x\)。那麼偏移量為 \(4\) 和 \(10\)：
$$x + (x + 4) + (x + 10) = 48$$ $$3x + 14 = 48 \quad\Rightarrow\quad 3x = 34$$這裡 \(3x = 34\) 不能被 3 整除，所以這個精確措辭沒有整數解。將總和調整為 \(S = 49\) 得到 \(3x = 35\)——仍然不是整數。當 \(S = 50\) 時：\(3x = 36\)，所以 \(x = 12\)。年齡分別為 12、16 和 22。
驗證：\(12 + 16 + 22 = 50\) ✓，中間年齡是 \(12 + 4 = 16\) ✓，最大年齡是 \(12 + 10 = 22\) ✓。
3. 百分比變化
一枚收藏硬幣的價值從舊價格 $80 上升到新價格 $92。百分比變化為：
$$\text{變化} = \frac{\text{新} - \text{舊}}{\text{舊}} \times 100\% = \frac{92 - 80}{80} \times 100\%$$ $$= \frac{12}{80} \times 100\% = 0.15 \times 100\% = \href{}{} 15\%$$因此價值增加了 15%。
驗證：$80 的 15% 是 \(0.15 \times 80 = \$12\)，而 \(80 + 12 = 92\)，與新價值匹配。✓
這些問題中的關鍵術語
- 硬幣總數 (N)——所有硬幣的總計數，不分類型。在兩種硬幣問題中，\(N = x + y\)，其中 \(x\) 和 \(y\) 是兩種硬幣類型的計數。
- 總金額 (T)——所有硬幣的總貨幣值，通常在計算期間以美分表示，最後轉換為美元。
- 面值 (v)——單個硬幣的官方價值（例如一角硬幣的 \(v = 10\) 美分）。在公式中，\(v_1\) 和 \(v_2\) 是要求解的兩種硬幣類型的面值。
- 年齡偏移——一個人的年齡與參考人物（通常是最小的人）相差的固定年數。例如，「大 4 歲」是偏移量 \(+4\)。
- 年齡總和 (S)——所有年齡加在一起的總和。以參考年齡 \(x\) 和偏移量 \(a\) 和 \(b\) 為例：\(x + (x+a) + (x+b) = S\)，所以 \(x = (S - a - b)/3\)。
- 舊值／新值——百分比變化問題中的起始（原始）數量和結束數量。舊值是衡量變化的基準。
- 百分比變化——新值和舊值之間的相對差異，\(\dfrac{\text{新} - \text{舊}}{\text{舊}} \times 100\%\)。正結果表示增加；負結果表示減少。
常見問題
為什麼有時會顯示「無有效解」？硬幣問題只有在兩種硬幣的枚數都算出非負整數時，答案才有意義；否則就代表你輸入的各項數字彼此矛盾。
年齡會算出小數嗎？會的——如果總和加上各偏移量無法被 3 整除，年齡就會是分數，這正好提醒你題目給的資料並非乾淨的整數情境。
這只能用在美元嗎？金額欄位標示為美元只是方便起見，但這些運算對你想套用的任何貨幣或單位都一樣成立。
