ما هي حاسبة قوة المصفوفة؟
ترفع هذه الأداة المصفوفة المربعة A إلى أس صحيح n، ويُكتب ذلك \(A^{n}\). تقوم بضرب المصفوفة في نفسها \(n\) من المرات وتُرجع المصفوفة الناتجة. تعمل الأداة مع مصفوفات 2×2 و3×3 و4×4 ذات العناصر الحقيقية. وتظهر قوى المصفوفات في جميع أنحاء الجبر الخطي: سلاسل ماركوف ومصفوفات الانتقال، وقوى مصفوفة التجاور في النظرية البيانية (لعدّ المسارات)، والأنظمة الديناميكية المتقطعة، والعلاقات التراجعية مثل متتالية فيبوناتشي.
طريقة الاستخدام
اختر حجم المصفوفة، ثم أدخل كل عنصر من عناصر A في خلايا الشبكة خلية بخلية (تُقبل الأرقام العشرية والسالبة)، بعد ذلك أدخل الأس الصحيح \(n\) واضغط على الحساب. استخدم \(n = 0\) للحصول على مصفوفة الوحدة، و\(n = 1\) لإرجاع A كما هي، وأي قيمة \(n \geq 2\) للضرب المتكرر. وإذا كانت A قابلة للعكس فيمكنك أيضاً إدخال قيمة سالبة لـ \(n\)، حيث تحسب الأداة المعكوس أولاً ثم ترفعه إلى القوة \(|n|\).
الصيغة الرياضية
تُعرَّف قوة المصفوفة تراجعياً على النحو التالي: \(A^{0} = I\) (مصفوفة الوحدة)، و\(A^{1} = A\)، و\(A^{n} = A \cdot A^{n-1}\). أما حاصل ضرب \(C = A \cdot B\) لمصفوفتين بحجم \(j \times j\) فعناصره هي $$C[i][k] = \sum A[i][m] \cdot B[m][k].$$ تعتمد هذه الحاسبة على أسلوب «الأس بالتربيع» لزيادة الكفاءة، لكن النتيجة مطابقة تماماً للضرب المتكرر العادي. ولا تُعرَّف قوة المصفوفة إلا إذا كانت A مربعة (عدد الصفوف = عدد الأعمدة).
$$A^{\,n} = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n\ \text{times}}$$
مثال محلول
لتكن \(A = [[1, 2], [3, 4]]\) و\(n = 2\). فإن \(A^{2} = A \cdot A\) تعطي $$c_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 7,$$ $$c_{12} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 10,$$ $$c_{21} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 15,$$ $$c_{22} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 = 22,$$ أي أن \(A^{2} = [[7, 10], [15, 22]]\). وبتربيعها مرة أخرى (أو بحساب \(A^{3} = A^{2} \cdot A\)) نحصل على \(A^{3} = [[37, 54], [81, 118]]\).
الأسئلة الشائعة
ماذا تُرجع القيمة \(n = 0\)؟ تُرجع مصفوفة الوحدة \(I\) بالحجم نفسه، وذلك وفق الاصطلاح المتعارف عليه.
هل يمكنني استخدام أس سالب؟ نعم، إذا كانت A قابلة للعكس (المحدد ≠ 0). فإن $$A^{-k} = \left(A^{-1}\right)^{k}.$$ أما إذا كان المحدد يساوي 0 فالنتيجة غير معرّفة وتنبهك الحاسبة بذلك.
لماذا تظهر بعض العناصر بكسور عشرية صغيرة جداً؟ قد يتراكم خطأ التقريب في الفاصلة العائمة عند القوى الكبيرة أو العناصر الكبيرة؛ وتُقرَّب النتائج إلى نحو 14 رقماً معنوياً.
