¿Qué es la calculadora de potencia de matrices?
Esta herramienta eleva una matriz cuadrada A a una potencia entera n, lo que se escribe \(A^{n}\). Multiplica la matriz por sí misma n veces y devuelve la matriz resultante. Funciona con matrices 2x2, 3x3 y 4x4 de números reales. Las potencias de matrices aparecen por todas partes en el álgebra lineal: cadenas de Markov y matrices de transición, potencias de la matriz de adyacencia de un grafo (para contar caminos), sistemas dinámicos discretos y relaciones de recurrencia como la de Fibonacci.
Cómo usarla
Elige el tamaño de la matriz, escribe cada elemento de A en la cuadrícula casilla por casilla (se admiten decimales y números negativos), introduce después el exponente entero n y pulsa calcular. Usa n = 0 para obtener la matriz identidad, n = 1 para devolver A sin cambios y cualquier n ≥ 2 para la multiplicación repetida. Si A es invertible, también puedes introducir un valor de n negativo: en ese caso se calcula primero la inversa y se eleva a |n|.
La fórmula
La potencia se define de forma recursiva: \(A^{0} = I\) (la identidad), \(A^{1} = A\) y \(A^{n} = A \cdot A^{n-1}\). El producto \(C = A \cdot B\) de dos matrices j×j tiene elementos \(C[i][k] = \sum A[i][m] \cdot B[m][k]\). Esta calculadora utiliza la exponenciación por cuadrados para mayor eficiencia, pero el resultado es idéntico al de la multiplicación repetida simple. La potencia de una matriz solo está definida cuando A es cuadrada (filas = columnas).
$$A^{\,n} = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n\ \text{times}}$$
$$A^{\,n} = \left(A^{-1}\right)^{\left|n\right|},\quad \det(A) \neq 0$$
Ejemplo resuelto
Sea A = [[1, 2], [3, 4]] y n = 2. Entonces \(A^{2} = A \cdot A\) da \(c_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 7\), \(c_{12} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 10\), \(c_{21} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 15\), \(c_{22} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 = 22\), de modo que \(A^{2} = [[7, 10], [15, 22]]\). Si elevamos otra vez al cuadrado (o calculamos \(A^{3} = A^{2} \cdot A\)) obtenemos \(A^{3} = [[37, 54], [81, 118]]\).
Preguntas frecuentes
¿Qué devuelve n = 0? La matriz identidad I del mismo tamaño, por convención.
¿Puedo usar un exponente negativo? Sí, siempre que A sea invertible (determinante ≠ 0). \(A^{-k}\) equivale a \(\left(A^{-1}\right)^{k}\). Si el determinante es 0 el resultado no está definido y la calculadora te lo advierte.
¿Por qué aparecen decimales muy pequeños en algunos elementos? El redondeo de coma flotante puede acumularse con potencias grandes o valores elevados; los resultados se redondean a unos 14 dígitos significativos.
