¿Qué es la calculadora de determinante de matrices n×n?
Esta herramienta calcula el determinante \(\det(A)\) de cualquier matriz cuadrada n×n de números reales, junto con su recíproco \(\frac{1}{\det(A)}\). El determinante es un único número que indica si una matriz es invertible (\(\det \ne 0\)) o singular (\(\det = 0\)), y aparece en todas las ramas del álgebra lineal, en la geometría (escalado de volúmenes con signo) y en la resolución de sistemas de ecuaciones. Las matemáticas son universales: funcionan igual en cualquier lugar.
Cómo usarla
Define el tamaño de la matriz \(n\) (de 1 a 10) y luego rellena cada elemento \(a_{ij}\) de la cuadrícula. Los valores pueden ser negativos, decimales o cero. Elige cuántos dígitos quieres mostrar si necesitas mayor precisión. La calculadora devuelve el determinante y, cuando la matriz es invertible, el recíproco \(\frac{1}{\det(A)}\). Si el determinante es cero, marca la matriz como singular e indica que el recíproco no está definido.
La fórmula
El determinante puede definirse mediante el desarrollo de Laplace (por cofactores) a lo largo de una fila: \(\det(A) = \sum_{j} a_{ij}\cdot(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}\), donde \(M_{ij}\) es el menor que se obtiene al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\). Para \(n = 2\), \(\det = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}\). Para lograr estabilidad numérica y mayor rapidez, esta calculadora utiliza en cambio la eliminación gaussiana con pivoteo parcial: reduce \(A\) a una forma triangular superior, registra los cambios de signo por intercambios de filas y multiplica los pivotes de la diagonal — $$\det(A) = \operatorname{sign} \cdot \prod_{k=1}^{n} U_{kk}$$
Ejemplo resuelto
Para A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]: $$\det = 1(5\cdot 10 - 6\cdot 8) - 2(4\cdot 10 - 6\cdot 7) + 3(4\cdot 8 - 5\cdot 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$ Por tanto, \(\det(A) = -3\) y \(\frac{1}{\det(A)} \approx -0{,}3333\).
Preguntas frecuentes
¿Qué significa un determinante igual a 0? La matriz es singular: sus filas o columnas son linealmente dependientes, no tiene inversa y \(\frac{1}{\det(A)}\) no está definido.
¿Pueden los valores ser decimales o negativos? Sí: se aceptan todos los números reales.
¿Por qué usar eliminación en lugar del desarrollo por cofactores? El desarrollo por cofactores requiere \(O(n!)\) operaciones; la eliminación gaussiana es \(O(n^3)\) y numéricamente estable para matrices grandes.
