¿Qué es la calculadora del determinante de una matriz 3x3?
Esta herramienta calcula el determinante de una matriz A de 3x3 a partir de sus nueve valores reales y, además, te muestra el recíproco del determinante \(1/\det A\). El determinante es un único número que indica si una matriz es invertible: un determinante distinto de cero significa que la matriz tiene inversa, mientras que un determinante igual a cero señala una matriz singular (no invertible).
Cómo utilizarla
Introduce cada uno de los nueve valores en la cuadrícula etiquetada, donde a-fila-columna indica el elemento situado en esa fila y columna. Cada casilla admite cualquier número real (positivo, negativo o decimal). Pulsa calcular para ver \(\det A\) como resultado principal y \(1/\det A\) justo debajo. Si el determinante es cero, el recíproco aparece como indefinido.
La fórmula explicada
Aplicando la expansión por cofactores (desarrollo de Laplace) a lo largo de la primera fila:
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$
Esto equivale a la regla de Sarrus, que suma los tres productos de las diagonales de izquierda a derecha y resta los tres productos de las diagonales de derecha a izquierda. El resultado coincide con el factor de escala de volumen (con signo) de la transformación lineal representada por A; un valor negativo indica que la transformación invierte la orientación.
Ejemplo resuelto
Para \(A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]\):
$$\det A = 1(5\cdot10 - 6\cdot8) - 2(4\cdot10 - 6\cdot7) + 3(4\cdot8 - 5\cdot7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$El recíproco es \(1/(-3) = -0{,}3333\ldots\) Como \(\det A\) es distinto de cero, la matriz es invertible.
Más ejemplos resueltos
Cada ejemplo utiliza la expansión por cofactores a lo largo de la primera fila:
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$Ejemplo 1 — Una matriz singular (det = 0)
Aquí la tercera fila es exactamente la suma de las dos primeras filas, por lo que la matriz es singular.
$$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 5 & 7 & 9\end{pmatrix}$$Expandiendo a lo largo de la primera fila:
- \(1\,(5\cdot 9 - 6\cdot 7) = 1\,(45-42) = 3\)
- \(-\,2\,(4\cdot 9 - 6\cdot 5) = -2\,(36-30) = -12\)
- \(+\,3\,(4\cdot 7 - 5\cdot 5) = 3\,(28-25) = 9\)
Sumando: \(3 - 12 + 9 = \) 0. Debido a que \(\det A = 0\), la matriz es singular y el recíproco \(1/\det A\) es indefinido (no existe inversa).
Ejemplo 2 — Entradas negativas y decimales
$$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0.5\\ -3 & 4 & 1\\ 0 & 2 & -2\end{pmatrix}$$Expandiendo a lo largo de la primera fila:
- \(2\,(4\cdot(-2) - 1\cdot 2) = 2\,(-8-2) = 2\,(-10) = -20\)
- \(-\,(-1)\,((-3)\cdot(-2) - 1\cdot 0) = +1\,(6-0) = 6\)
- \(+\,0.5\,((-3)\cdot 2 - 4\cdot 0) = 0.5\,(-6-0) = -3\)
Sumando: \(-20 + 6 - 3 = \) -17. El recíproco es \(1/\det A = -1/17 \approx -0.0588\).
Ejemplo 3 — Matriz triangular superior (det = producto de la diagonal)
$$A=\begin{pmatrix}3 & 5 & -2\\ 0 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$Expandiendo a lo largo de la primera fila (nótese que los ceros en la parte inferior izquierda anulan los cofactores fuera de la diagonal):
- \(3\,(4\cdot 2 - 7\cdot 0) = 3\,(8) = 24\)
- \(-\,5\,(0\cdot 2 - 7\cdot 0) = -5\,(0) = 0\)
- \(+\,(-2)\,(0\cdot 0 - 4\cdot 0) = -2\,(0) = 0\)
Sumando: \(24 + 0 + 0 = \) 24, que es igual al producto de los elementos de la diagonal \(3\cdot 4\cdot 2 = 24\). Para cualquier matriz triangular el determinante es simplemente el producto de la diagonal.
Términos clave explicados
- Determinante (\(\det A\) o \(|A|\))
- Un escalar único calculado a partir de una matriz cuadrada que codifica si la matriz es invertible y cómo escala el volumen. Para una matriz 3×3 se encuentra mediante expansión por cofactores.
- Menor (\(M_{ij}\))
- El determinante de la matriz más pequeña que queda después de eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\). Para una matriz 3×3 cada menor es un determinante 2×2.
- Cofactor (\(C_{ij}\))
- Un menor con signo: \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\). El patrón de signos en tablero de ajedrez es \(\begin{smallmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{smallmatrix}\).
- Expansión de Laplace / por cofactores
- Un método que calcula el determinante como la suma de cada entrada en una fila o columna elegida multiplicada por su cofactor: \(\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}\). Elegir una fila o columna con ceros reduce el trabajo.
- Regla de Sarrus
- Un atajo para matrices 3×3 solamente: suma los tres productos diagonales de izquierda a derecha y resta los tres productos diagonales de derecha a izquierda. Produce el mismo resultado que la expansión por cofactores.
- Matriz singular
- Una matriz con \(\det A = 0\); no tiene inversa porque las filas (y columnas) son linealmente dependientes.
- Matriz invertible (no singular)
- Una matriz con \(\det A \neq 0\); tiene una inversa única \(A^{-1}\).
- Adjugada (adjunta)
- La transpuesta de la matriz de cofactores. Aparece en la fórmula de inversa \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\).
- Dependencia lineal
- Cuando una fila (o columna) puede escribirse como una combinación de las otras. La dependencia lineal obliga a \(\det A = 0\) y significa que la matriz mapea el espacio 3D a un conjunto de dimensión inferior.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa que el determinante sea cero? La matriz es singular y no tiene inversa; sus filas o columnas son linealmente dependientes.
¿Puede el determinante ser negativo? Sí. Un determinante negativo simplemente significa que la transformación asociada invierte la orientación; su valor absoluto sigue dando el factor de escala de volumen.
¿Por qué se muestra \(1/\det A\)? El recíproco aparece como factor escalar en la fórmula cerrada de la matriz inversa (la adjunta dividida entre \(\det A\)), por lo que es un dato muy práctico.
