¿Qué es el determinante de una matriz?
El determinante es un único número que se obtiene a partir de los elementos de una matriz cuadrada. Te indica si la matriz es invertible (si es distinto de cero, lo es), cómo una transformación lineal escala el área o el volumen, y si un sistema de ecuaciones tiene solución única. Esta calculadora cubre los dos casos más habituales en los cursos de álgebra lineal: las matrices 2×2 y 3×3.
Cómo usar esta calculadora
Elige el tamaño de la matriz (2×2 o 3×3). Escribe cada valor en su casilla correspondiente: a11 es el elemento de arriba a la izquierda y a33 el de abajo a la derecha. En una matriz 2×2 solo se leen los elementos del bloque superior izquierdo (a11, a12, a21, a22); el resto de campos se ignoran. Pulsa calcular y el determinante aparecerá al instante, junto con los menores 2×2 intermedios que se usan en el desarrollo por cofactores de la matriz 3×3.
La fórmula explicada
Para una matriz 2×2 con los valores a y b en la fila superior y c y d en la inferior, el determinante es simplemente \(ad - bc\). Para una matriz 3×3 utilizamos el desarrollo por cofactores a lo largo de la primera fila: cada elemento de esa fila se multiplica por el determinante de la matriz 2×2 que queda al eliminar su fila y su columna (su menor), aplicando signos alternados (+, −, +).
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$
Ejemplo resuelto
Tomemos la matriz con filas (1, 2, 3), (0, 1, 4), (5, 6, 0). Los menores son \(M_{11} = 1\cdot0 - 4\cdot6 = -24\), \(M_{12} = 0\cdot0 - 4\cdot5 = -20\), \(M_{13} = 0\cdot6 - 1\cdot5 = -5\). Entonces
$$\det A = 1\cdot(-24) - 2\cdot(-20) + 3\cdot(-5) = -24 + 40 - 15 = \mathbf{1}$$Preguntas frecuentes
¿Qué significa que el determinante sea cero? Que la matriz es singular: no tiene inversa y el sistema de ecuaciones asociado no posee una solución única.
¿Puede ser negativo el determinante? Sí. Un determinante negativo indica que la transformación lineal invierte la orientación; su valor absoluto sigue representando el factor de escala del área o el volumen.
¿Funciona con matrices más grandes? Esta herramienta cubre matrices 2×2 y 3×3, que son los tamaños más utilizados. Los determinantes de matrices mayores suelen calcularse mediante reducción por filas.
