Định thức ma trận là gì?
Định thức là một con số duy nhất được tính từ các phần tử của một ma trận vuông. Nó cho bạn biết ma trận có khả nghịch hay không (định thức khác 0 nghĩa là khả nghịch), một phép biến đổi tuyến tính làm thay đổi diện tích hay thể tích như thế nào, và liệu một hệ phương trình có nghiệm duy nhất hay không. Công cụ này xử lý hai trường hợp phổ biến nhất trong chương trình đại số tuyến tính: ma trận 2×2 và 3×3.
Cách sử dụng công cụ
Hãy chọn kích thước ma trận (2×2 hoặc 3×3). Nhập từng giá trị vào ô tương ứng — \(a_{11}\) là phần tử ở góc trên bên trái, còn \(a_{33}\) là phần tử ở góc dưới bên phải. Với ma trận 2×2, chỉ khối góc trên bên trái (\(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}\)) được đọc; các ô còn lại sẽ bị bỏ qua. Bấm tính toán và định thức sẽ hiện ra ngay lập tức, kèm theo các định thức con 2×2 trung gian được dùng trong khai triển theo phần phụ đại số của ma trận 3×3.
Giải thích công thức
Với ma trận 2×2 có hàng trên là a, b và hàng dưới là c, d, định thức đơn giản là \(ad - bc\). Với ma trận 3×3, ta khai triển theo phần phụ đại số dọc theo hàng đầu tiên: mỗi phần tử ở hàng đầu được nhân với định thức của ma trận 2×2 còn lại sau khi xóa hàng và cột chứa phần tử đó (gọi là định thức con), với dấu xen kẽ (+, −, +).
$$\det A = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}$$$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$
Ví dụ minh họa
Xét ma trận có các hàng (1, 2, 3), (0, 1, 4) và (5, 6, 0). Các định thức con là $$M_{11} = 1\cdot0 - 4\cdot6 = -24,$$ $$M_{12} = 0\cdot0 - 4\cdot5 = -20,$$ $$M_{13} = 0\cdot6 - 1\cdot5 = -5.$$ Khi đó $$\det A = 1\cdot(-24) - 2\cdot(-20) + 3\cdot(-5) = -24 + 40 - 15 = \mathbf{1}.$$
Câu hỏi thường gặp
Định thức bằng 0 có ý nghĩa gì? Ma trận đó là ma trận suy biến — không có ma trận nghịch đảo, và hệ phương trình liên quan sẽ không có nghiệm duy nhất.
Định thức có thể âm không? Có. Định thức âm cho biết phép biến đổi tuyến tính làm đảo ngược hướng (định hướng); giá trị tuyệt đối của nó vẫn biểu thị hệ số tỉ lệ thay đổi diện tích hoặc thể tích.
Công cụ có tính được ma trận lớn hơn không? Công cụ này hỗ trợ ma trận 2×2 và 3×3, vốn là những kích thước thường gặp nhất. Định thức của ma trận lớn hơn thường được tính bằng phương pháp khử Gauss (biến đổi hàng).
