行列式とは？
行列式（determinant）とは、正方行列の成分から計算される1つの数値です。この値からは、行列が逆行列を持つかどうか（行列式が0でなければ逆行列が存在します）、線形変換が面積や体積を何倍に拡大・縮小するか、そして連立方程式が一意の解を持つかどうかがわかります。本ツールは、線形代数の講義で最もよく扱われる 2×2 行列と 3×3 行列に対応しています。
このツールの使い方
まず行列のサイズ（2×2 または 3×3）を選びます。次に、ラベル付きの各セルに成分を入力してください。a11 が左上の成分、a33 が右下の成分です。2×2 行列の場合は左上のブロック（a11, a12, a21, a22）だけが読み込まれ、それ以外の入力欄は無視されます。「計算」をクリックすると行列式が即座に表示され、3×3 の余因子展開で使われる途中の 2×2 小行列式もあわせて確認できます。
計算式の解説
2×2 行列で、上の行が a, b、下の行が c, d の場合、行列式はシンプルに ad − bc となります。
$$\det A = ad - bc$$3×3 行列では、第1行に沿った余因子展開を用います。第1行の各成分に対して、その成分の行と列を取り除いて残る 2×2 行列の行列式（小行列式）を掛け、符号を +, −, + と交互に変えて足し合わせます。
$$\det A = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}$$$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$
計算例
行が (1, 2, 3)、(0, 1, 4)、(5, 6, 0) の行列を考えます。小行列式はそれぞれ \(M_{11} = 1\cdot 0 - 4\cdot 6 = -24\)、\(M_{12} = 0\cdot 0 - 4\cdot 5 = -20\)、\(M_{13} = 0\cdot 6 - 1\cdot 5 = -5\) となります。したがって
$$\det A = 1\cdot(-24) - 2\cdot(-20) + 3\cdot(-5) = -24 + 40 - 15 = \mathbf{1}$$です。
よくある質問
行列式が0のときは何を意味しますか？ その行列は特異（singular）であり、逆行列を持ちません。また、対応する連立方程式は一意の解を持ちません。
行列式は負の値になりますか？ はい、なります。行列式が負の場合、その線形変換は向き（orientation）を反転させることを示します。ただし、その絶対値は依然として面積や体積の拡大・縮小率を表します。
より大きな行列にも対応していますか？ 本ツールは、利用頻度の高い 2×2 行列と 3×3 行列に対応しています。それより大きな行列の行列式は、通常、行基本変形（掃き出し法）を使って計算します。
